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From: Moebius <invalid@example.invalid>
Newsgroups: sci.logic,sci.math
Subject: Re: Replacement of Cardinality
Date: Mon, 12 Aug 2024 20:24:04 +0200
Organization: A noiseless patient Spider
Lines: 119
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 <6c471296-90b8-4cf7-bc9b-480bd34ef190@att.net> <v93n0s$b7a2$4@dont-email.me>
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Injection-Date: Mon, 12 Aug 2024 20:24:04 +0200 (CEST)
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Am 12.08.2024 um 19:44 schrieb Jim Burns:
> On 8/12/2024 9:50 AM, WM wrote:
>> Le 11/08/2024 à 19:56, Jim Burns a écrit :

>>>> ∀n ∈ ℕ: 1/n - 1/(n+1) > 0 (*) [WM]
>>>>
>>> ∀n ∈ ℕ: 1/n > 1/(n+1) > 0 (**) [JB]
>>
>> If 1/(n+1) exists. [WM]

Mückenheim, wenn Du meinst, dass das eine Voraussetzung für (**) ist, 
dann ist es doch auch eine für (*). Warum hast Du das VORHER nicht dazu 
gesagt? Du redest wirklich nur saudummen Scheißdreck daher, Mückenheim.

In der Mathematik ist es so:

Es gibt das allgemein akzeptierte Peano-Axiom:

       An e IN: s(n) e IN.

Daraus folgt zusammen mit der Definition

       n+1 =df s(n)    (n e IN)

sofort:

       An e IN: s+1 e IN.

Und daraus natürlich:

       An e IN: Em e IN: m = n+1 .

       "Mückensprech: (for each and every n in IN) n+1 exists and is an 
element in IN."

Mit der (üblichen) Definition

       n < m =df Ek e IN: n+k = m

ergibt sich zusammen mit dem ebenfalls allgemein akzeptierte Peano-Axiom:

       1 e IN

auch

       An e IN: n+1 e IN & n < n+1 .

Daraus folgt dann im Kontext der rationalen Zahlen (Q):

       An e IN: 1/(n+1) < 1/n .

Man kann natürlich ebenso gut beweisen:

       An e IN: Eq,q' e Q: q = 1/n & q' = 1/(n+1) & q' < q ,

oder auch nur:

       An e IN: Eq e Q: q = 1/(n+1) & q < 1/n .

       "Mückensprech: (for each and every n in IN) 1/(n+1) exists and is 
an element in Q."

Was genau verstehst Du daran nicht?

Also ja:

>>>> ∀n ∈ ℕ: 1/n - 1/(n+1) > 0

> asserts 1/(n+1) exists, '∀n ∈ ℕ'
> along with asserting other things.

Right.

Wie schon ZIG mal erwähnt, Mückenheim: Wenn 1/(n+1) nicht für jedes n e 
IN definiert wäre (also existieren würde), dann dürftest Du es in einer 
einschlägigen Behauptung wie

        ∀n ∈ ℕ: 1/n - 1/(n+1) > 0

gar nicht verwenden, Depp.

"Ebensogut" könntest Du behaupten:

        ∀x ∈ IR: |1/x| >= 0 .   (***)

Nur ist 1/x für x = 0 nicht definiert, daher ist der Ausdruck (***) als 
Behauptung nicht zulässig (da 0 e IR ist).

Um aber zum eigentlichen Thema zurück zu kommen:

>>> Each positive unit fraction is not
>>> the first positive unit fraction. 
>>>
>>> What causes an exception: nₓ ∈ ℕ:
>>> ⅟nₓ > 0 without ⅟(nₓ+1) > 0 ?
>>
>> The end of the positive axis.

Nö. Natürlich nicht. Denn es gilt: An e IN: 0 < 1/(n+1) < 1/n.

Dass also die "positive axis" bei 0 "aufhört", ist KEIN Problem.

> There is no ⅟nₓ before the end of the positive axis
> without ⅟(nₓ+1) before the end of the positive axis.
> 
> ⎛ Assume otherwise.
> ⎜ Assume ⅟nₓ > 0 ≥ ⅟(nₓ+1)
> ⎜
> ⎜ nₓ⋅⅟nₓ = 1
> ⎜ ⅟nₓ > 0  ∧  1 > 0  ⇒  nₓ > 0
> ⎜ nₓ > 0  ⇒  nₓ+1 > 0
> ⎜ (nₓ+1)⋅⅟(nₓ+1) = 1
> ⎜ nₓ+1 > 0  ∧  1 > 0  ⇒  ⅟(nₓ+1) > 0
> ⎝ Contradiction.
> 
> There is no exception to not.being the lower end.

Jep. Außer in Mückenheims Wahnwelt. :-)