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From: efji <efji@efi.efji>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: =?UTF-8?Q?Re=3A_Carr=C3=A9s_parfaits_=3F?=
Date: Thu, 31 Oct 2024 14:15:22 +0100
Organization: A noiseless patient Spider
Lines: 80
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References: <vfvatd$2jk4v$1@dont-email.me>
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Injection-Date: Thu, 31 Oct 2024 14:15:23 +0100 (CET)
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In-Reply-To: <672371f4$0$28049$426a74cc@news.free.fr>
Content-Language: fr, en-US
Bytes: 4749

Le 31/10/2024 à 13:03, Samuel Devulder a écrit :
> Le 31/10/2024 à 09:38, Olivier Miakinen a écrit :
>> Là tu poses une question intéressante. Pourquoi appelle-t-on 
>> carré*parfait*,
>> plutôt que simplement carré, le carré d'un nombre entier ?
> 
> Parce que pleins de gens ne se placent pas dans N par défaut je pense.
> 
> https://fr.wikipedia.org/wiki/Carr%C3%A9_parfait
> 
> if faut aussi savoir qu'un carré parfait est une propriété de m (=n²) 
> sans connaitre n. Ainsi la question "Question : quel est le plus grand 
> carré parfait que l'on peut écrire en utilisant deux chiffres 
> identiques ?" revient pour moi à se demander s'il existe n entier quel 
> qu'il exsite un nombre m s'écrivant aa en décimal qui soit égal à n².
> 
> Là on est sur un truc vraiment intéressant , mais je crois que l'auteur 
> de l'article est complètement passé à coté.
> 
> En effet vouloir trouver 11a = n² nécessite que 11 divise n², or n² a 
> toutes ses puissances de décomposition en nombre premiers pairs, donc 
> 11a doit aussi s'écrire comme un un multiple de 11², ce qui veut dire 
> que a lui même divise 11. Or 11 est premier, ses diviseurs sont 1 ou 11. 
> 11 n'est pas un chiffre donc a=1, mais on vérifie facilement que m=11 
> n'est pas un carré (parfait), et il n'y a pas de plus grand carré 
> (parfait) qui s'écrive avec deux chiffres identiques. *C'est ma réponse JP*
> 
> Dans tous les cas la réponse proposée dans l'article est fausse
> <<Au-delà de 44, les carrés des nombres comme 55 ou plus dépassent le 
> cadre des deux chiffres identiques initialement posés dans l'énigme. 
> C'est pourquoi la réponse est bien 1936, le carré parfait de 44.>>
> 
> 55 ne dépasse en rien le "cadre de deux chiffres identiques". L'auteur 
> ne comprend rien à ce qu'il écrit et je crains fort qu'il n'ait été 
> écrit par une pseudo intelligence trop artificielle.
> 
> Toutefois, si je pose la question à chatGPT, il a une autre 
> interprétation de la question qui a aussi un certain sens.
> 
> https://chatgpt.com/share/6723702f-6660-8007-9791-a34a85e180a2
> 
> Pour lui "deux chiffres identiques" n'est pas compris comme le nombre 
> décimal de deux chiffres aa, mais comme un nombre à 4 chiffres qui n'en 
> utilisant que deux: aabb, abab, ou abba. Et là je comprends pourquoi 
> l'article parle de l'ordre des deux chiffres. Cependant, et je dois bien 
> l'admettre la bonne réponse n'est pas 44² mais 88² = 7744 qui est bien 
> un nombre (de 4 chiffres) avec 2 chiffres identiques lui aussi. ChatGP a 
> raison (en un sens).
> 
> sam.

On peut en effet essayer de faire du reverse engineering sur la "pensée" 
tordue et branlante de l'auteur de l'article. Je propose un problème 
pour lequel je n'ai pas de solution : existe-t-il des carrés parfaits 
formés avec un seul chiffre ? Et s'il en existe, y en a-t-il une 
infinité ou bien y a-t-il un carré parfait maximal ?

On peut se concentrer sur l'étude des facteurs premiers des nombres qui 
s'écrivent 1111...1 en base 10. Si on en trouve un on en aura 2 autres 
en prime : si 111...1 = n^2, alors 444...4 = (2n)^2 et 999...9 = (3n)^2.

Si on a une factorisation du type 111...1 = p x n^2 avec p entre 1 et 9, 
alors ppp...p sera un carré parfait = (pn)^2.

Voici les facteurs premiers du début de la liste, aucun ne marche :

11: premier
111: 3, 37
1111: 11, 101
11111: 41, 271
111111: 3, 7, 11, 13, 37
1111111: 139, 4649
11111111: 11, 73, 101, 137
111111111: premier
1111111111: 11, 41, 271, 9091
11111111111: premier
111111111111: 3, 7, 11, 13, 37, 101, 9901

-- 
F.J.