Path: ...!news.roellig-ltd.de!news.mb-net.net!open-news-network.org!news.gegeweb.eu!gegeweb.org!usenet-fr.net!.POSTED!not-for-mail
From: Olivier Miakinen <om+news@miakinen.net>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: =?UTF-8?Q?Re:_Carr=c3=a9s_parfaits_=3f?=
Date: Thu, 31 Oct 2024 14:31:06 +0100
Organization: There's no cabale
Lines: 38
Message-ID: <vg00qq$1c8c$1@cabale.usenet-fr.net>
References: <vfvatd$2jk4v$1@dont-email.me>
 <vfvfmq$12gu$1@cabale.usenet-fr.net> <672371f4$0$28049$426a74cc@news.free.fr>
 <vfvvta$2mnl6$1@dont-email.me>
NNTP-Posting-Host: 200.89.28.93.rev.sfr.net
Mime-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=ISO-8859-15
Content-Transfer-Encoding: 8bit
X-Trace: cabale.usenet-fr.net 1730381466 45324 93.28.89.200 (31 Oct 2024 13:31:06 GMT)
X-Complaints-To: abuse@usenet-fr.net
NNTP-Posting-Date: Thu, 31 Oct 2024 13:31:06 +0000 (UTC)
User-Agent: Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64; rv:52.0) Gecko/20100101
 Firefox/52.0 SeaMonkey/2.49.4
In-Reply-To: <vfvvta$2mnl6$1@dont-email.me>
Bytes: 2521

Le 31/10/2024 14:15, efji a écrit :
> 
> On peut en effet essayer de faire du reverse engineering sur la "pensée" 
> tordue et branlante de l'auteur de l'article.

Oui. Ou pas. :-)

> Je propose un problème 
> pour lequel je n'ai pas de solution : existe-t-il des carrés parfaits 
> formés avec un seul chiffre ? Et s'il en existe, y en a-t-il une 
> infinité ou bien y a-t-il un carré parfait maximal ?

Déjà il y a les nombres 0, 1, 4 et 9. Je conjecture qu'il n'en existe pas
d'autres mais cela reste à démontrer.

> On peut se concentrer sur l'étude des facteurs premiers des nombres qui 
> s'écrivent 1111...1 en base 10. Si on en trouve un on en aura 2 autres 
> en prime : si 111...1 = n^2, alors 444...4 = (2n)^2 et 999...9 = (3n)^2.

En outre, sachant qu'un carré ne peut se terminer que par l'un des chiffres
0, 1, 4, 5, 6 ou 9, on peut facilement éliminer les cas autre que les trois
que tu cites.

000...0 : ce n'est pas différent de 0.

555...5 : ce nombre étant divisible par 5, il doit aussi être divisible
par 5² = 25, et donc se terminer par 00, 25, 50 ou 75. Contradiction.

666...6 : ce nombre étant divisible par 2, il doit aussi être divisible
par 2² = 4, or un nombre terminé par 66 est toujours congru à 2 modulo 4.
Contradiction.


Il reste donc à traiter le seul cas 111...1. Je n'ai pas le temps de le faire
tout de suite mais ça ne devrait pas être très long je pense.

-- 
Olivier Miakinen