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From: efji <efji@efi.efji>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: =?UTF-8?Q?Re=3A_Domaine_de_d=C3=A9finition?=
Date: Wed, 13 Nov 2024 12:47:51 +0100
Organization: A noiseless patient Spider
Lines: 30
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 <vghrfh$n89$1@cabale.usenet-fr.net> <xcCe2iMseSK4VhmKaq1ytfAtONw@jntp>
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Injection-Date: Wed, 13 Nov 2024 12:47:53 +0100 (CET)
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Le 13/11/2024 à 12:30, Olivier Miakinen a écrit :
> C'est évidemment absurde, et la raison de cette absurdité est que l'on ne peut
> pas faire une limite de fonctions comme on fait une limite de réels. Et tu as
> le même genre de problème quand tu essayes de faire tendre a vers 0 dans ta
> définition de fₐ(x) = 1/(1/(a*x)) : tu ne calcules pas une limite de nombres
> réels, tu cherches une limite de fonctions.

La notion de limite est liée à la notion de topologie.

Sur R, qui est un espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes 
sont équivalentes et la topologie "naturelle" permet de définir la 
notion de limite.

Dans les espaces de fonctions, qui sont de dimension infinie, toutes les 
normes ne sont pas équivalentes et donc on peut définir tout un tas de 
topologies différentes qui vont donner des notions de limites 
différentes. Cela n'a aucun sens de dire "f_n tend vers f" si on ne 
précise pas pour quelle norme. Par exemple la convergence ponctuelle :

sup(|f_n(x)-f(x)|) -> 0

est très différente de la convergence en norme L2 :

\int |f_n(x)-f(x)|^2 dx -> 0

Bref, tout ceci est assez compliqué et très peu intuitif pour le commun 
des mortels :)

-- 
F.J.