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From: WM <wolfgang.mueckenheim@tha.de>
Newsgroups: sci.math
Subject: Re: The set of necessary FISONs
Date: Tue, 4 Mar 2025 20:56:17 +0100
Organization: A noiseless patient Spider
Lines: 43
Message-ID: <vq7lt1$1uvhg$2@dont-email.me>
References: <vmo1bs$1rnl$1@dont-email.me> <vppfol$3280b$1@dont-email.me>
 <04dd7515-297c-4e7c-9e6a-a4f43e663552@att.net> <vpqflj$38bst$2@dont-email.me>
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 <19431656-fb42-4569-9334-b5b7e19c80c6@att.net> <vpruld$3jg6j$1@dont-email.me>
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 <7ac03d2e-5d72-4186-8b33-6fdddb7b83ff@att.net> <vpvjks$asqp$2@dont-email.me>
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Injection-Date: Tue, 04 Mar 2025 20:56:17 +0100 (CET)
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In-Reply-To: <8e7b322e-1259-4563-b2d5-37983249a397@att.net>
Content-Language: en-US
Bytes: 3730

On 04.03.2025 17:43, Jim Burns wrote:
> On 3/4/2025 5:49 AM, WM wrote:

>> Here is only *one* argument standing for a long while.
> 
> The union ⋃{F} of FISONs and
> the intersection ⋂𝒫ⁱⁿᵈ of inductive subsets
> are the same set.

Correct. You need not the intersection however because Z₀ can also be 
defined by { } ∈ Z₀, and if {{{...{{{ }}}...}}} with n curly brackets ∈ 
Z₀ then {{{...{{{ }}}...}}} with n+1 curly brackets ∈ Z₀.
> 
> Your (WM's) darkᵂᴹ numbers
> are bracketed by ⋂𝒫ⁱⁿᵈ and ⋃{F}

No, they are following. Every induction surpasses every finite number 
but never all finite numbers. It is always a finite number. Cantor's ℕ 
however is larger: "Unter einem A.-U. ist dagegen ein Quantum zu 
verstehen, das einerseits nicht veränderlich, sondern vielmehr in allen 
seinen Teilen fest und bestimmt, eine richtige Konstante ist, zugleich 
aber andrerseits jede endliche Größe derselben Art an Größe übertrifft. 
Als Beispiel führe ich die Gesamtheit, den Inbegriff aller endlichen 
ganzen positiven Zahlen an; diese Menge ist ein Ding für sich und 
bildet, ganz abgesehen von der natürlichen Folge der dazu gehörigen 
Zahlen, ein in allen Teilen festes, bestimmtes Quantum, ... das offenbar 
größer zu nennen ist als jede endliche Anzahl.

Therefore ℕ is more than UF.
By induction like Zermelo we find:
∀n ∈ U(F): |ℕ \ {1, 2, 3, ..., n}| = ℵo.

> ⎛ ⋂𝒫ⁱⁿᵈ = ⋃{F}

True.
> ⎜ Mehdi Hasan, a British journalist, suggests using
> ⎜ three steps to beat the Gish gallop:

I need only one step: I delete your gibberish without addressing it and 
put the topic.

Regards, WM