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From: efji <efji@efi.efji>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: Re: Somme et produits de nombres complexes
Date: Mon, 14 Apr 2025 13:50:31 +0200
Organization: A noiseless patient Spider
Lines: 37
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 <vtimc8$2l9e$1@cabale.usenet-fr.net> <2QgV8ZjRN_qhZ1PS_bfB3_2938I@jntp>
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Injection-Date: Mon, 14 Apr 2025 13:50:32 +0200 (CEST)
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In-Reply-To: <67fce8e3$0$29736$426a74cc@news.free.fr>
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Le 14/04/2025 à 12:52, Michel Talon a écrit :
> Le 14/04/2025 à 12:06, Julien Arlandis a écrit :
>> Le 14/04/2025 à 12:00, Olivier Miakinen a écrit :
>>> Le 13/04/2025 à 13:20, Julien Arlandis a écrit :
>>>>
>>>> Vu sur un groupe Facebook, on cherche deux nombres A et B tels que 
>>>> le produit et la somme soient égaux à des nombres premiers, 
>>>> l'ensemble n'était pas précisé...
>>>
>>> On a vu qu'avec des réels quelconques ce n'est pas très intéressant.
>>>
>>> Qu'en est-il si on doit choisir A et B parmi les entiers de Gauss ?
>>
>> Je me suis posé la question, existe t-il d'autres solutions que la 
>> solution triviale 1±i ?
> 
> Il me semble que le problème posé suppose des solutions en nombres entiers.
> Qui parle de complexes dans ce problème?  Il faut donc en premier 
> p^2-4*q >0
> pour avoir des solutions réelles.  Il faut ensuite p^2-4*q=r^2 avec r 
> entier. mais alors (p-r)*(p+r)=4*q. comme q est premier p+r=k*q ou p- 
> r=k*q avec k entier.
> Dans le premier cas on a donc forcément  k*(p-r)=4, donc k= 1,2,4 
> puisque p-r
> est entier. Si par exemple k=2, p-r=2,p+r=2*q donc p=q+1 et 
> p2-4*q=(q-1)^2 ce qui est bon. Alors A=[p+(q-1)]/2 =q et B= [p- 
> (q-1)]/2=1  ce qui est bien une solution entière. Il faut examiner tous 
> les autres cas. Je suppose que c'était ça le sens de la question.
> 

Que de complications :)
AB premier avec A et B entiers n'a pas de solution sauf si A ou B vaut 
1. Mais alors, si A=1, B doit être premier, et donc B+1 ne peut pas être 
premier, sauf si B=2. Donc la seule solution entière est A=1, B=2.

-- 
F.J.