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Subject: Re: Puissance complexe
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From: Julien Arlandis <julien.arlandis@gmail.com>
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Lines: 56

Le 23/12/2021 à 12:38, Michel Talon a écrit :
> Le 22/12/2021 à 12:00, Julien Arlandis a écrit :
>>> Heureusement il existe une solution à cette difficulté qui...a été 
>>> découverte par Riemann il y a plus de 200 ans: elle consiste à 
>>> rétablir l'unicité de la valeur de sqrt(z) en doublant pour ainsi dire 
>>> le domaine de la variable z de façon que les deux valeurs de sqrt(z) 
>>> correspondent à deux points au lieu d'un seul - trait de génie s'il en 
>>> fut jamais, qui est à l'origine de la grande théorie des surfaces de 
>>> Riemann....
>> 
>> Je n'ai pas compris ce paragraphe, saurais tu l'expliciter plus 
>> formellement ?
> 
> C'est compliqué à expliquer, je vais prendre un exemple très simple, la 
> surface de Riemann de x-y^2, c'est à dire de sqrt(x). Il faut d'abord 
> voir que x et y sont complexes, donc (x,y) représente 4 paramètres 
> réels, et la condition x-y^2=0 deux conditions réelles donc il reste 
> bien 2 paramètres réels pour un point de x-y^2=0 , on a affaire à une 
> surface. A chaque point de la surface correspond un couple (x,y) et on a 
> 2 projections de la surface sur le plan complexe (x,y) -> x et (x,y) ->y
> 
> Considérons la première. Pour chaque valeur de x /= 0 on a deux valeurs 
> de y et donc deux points de la surface au dessus de x, vis à vis de la 
> projection. On dit qu'on a un revêtement à 2 feuillets du plan complexe.
> On introduit une structure complexe sur la surface et disant que x est 
> un paramètre de coordonnées (complexe) autour du point (x,y) (pour 
> chacune des deux valeurs de y) On a donc une "pile de deux assiettes"
> au dessus d'un petit disque autour de x dans C.
> 
> Malheureusement ceci ne marche pas en 0 (et infini). Il n'y a qu'une 
> valeur de y (=0) au dessus de x=0. On dit que c'est un point de 
> branchement du revêtement, et que celui ci est branché. En fait ce n'est 
> pas grave car autour du point (0,0) on peut utiliser la deuxième 
> projection (x,y) -> y et le paramètre local y pour donner des 
> coordonnées complexes (y^2,y) pour les points autour de (0,0). ceci se 
> recolle bien avec les coordonnées (x,sqrt(x)) sur les points de la 
> surface où x=0 et donne donc une structure de variété complexe lisse à 
> la surface.
> 
> Je passe sous silence la compactification à l'infini (en fait on prend 
> le paramètre 1/x ou 1/y) et l'éventuelle désingularisation qu'il faut y 
> faire, on obtient un surface complexe compacte lisse, appelée surface
> de Riemann. Ce que dit Dieudonné c'est que la "fonction" sqrt(x) est en 
> fait une bonne fonction bien définie suir la surface de Riemann, c'est
> trivialement la projection (x,y) -> y
> 
> Tout ça se généralise sans problème à la surface de Riemann de P(x,y)=0
> où P est un polynome en x et y, ce qui donne la théorie générale des 
> fonctions elliptiques, hyperelliptiques, algébriques, etc.

Je comprends vaguement l'idée qui consiste à modifier le domaine de 
l'application multivaluée par autant de feuillets que nécessaire. On se 
retrouve bien avec des applications contenant une seule image au plus mais 
avec des ensembles de départs différents selon les applications. Pour 
être pragmatique, si je veux évaluer :
1^(1/2)+1^(1/3) je procède comment avec les surfaces de Riemann, la 
racine cubique ayant un recouvrement de plus que la racine carrée ?