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Subject: Re: lim n sin(2pi exp(1) n!) ?
Newsgroups: fr.sci.maths
References: <sfj1mc$1bll$1@gioia.aioe.org> <sfj3ln$9bd$1@cabale.usenet-fr.net>
From: Michel Talon <talon@niobe.lpthe.jussieu.fr>
Date: Wed, 18 Aug 2021 23:02:15 +0200
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Le 18/08/2021 à 15:58, Olivier Miakinen a écrit :
> Bonjour,
> 
> Le 18/08/2021 à 15:24, Samuel DEVULDER a écrit :
>>
>> Sauriez vous calculer:
>>
>> |        lim   n sin(2pi exp(1) n!)
>> |       n->oo
>>
>> En déduire que exp(1) est irrationnel.
> 

exp(1)n! = entier + 1/(n+1)(1+1/(n+2)+1/(n+2)(n+3) + ....)


Mais 1+... converge et tend vers 1 quand n -> infini . Comme
sin(x) ~ x pour x petit et sin est  périodique, on a la limite 1.

Si exp(1) était rationnel on aurait sin(...) = 0 pour n assez grand
et donc limite 0.


-- 
Michel Talon