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Subject: =?UTF-8?Q?Re=3a_Prouver_une_in=c3=a9galit=c3=a9_pour_tout_x_et_y?=
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From: Michel Talon <talon@niobe.lpthe.jussieu.fr>
Date: Mon, 23 Aug 2021 20:19:51 +0200
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Le 22/08/2021 à 18:58, Samuel DEVULDER a écrit :
> En fait le déterminant d'origine est obtenu en faisant les dérivées 
> d'ordre 1 en x,y,z, et 2 en u,v puis en mettant toutes ces variables à 0

Faire explicitement le calcul avec maxima est à la limite de la capacité 
de calcul de mon PC, je l'ai fait en segmentant les opérations comme suit:

L(x):=[1,x,x^2,x^3,x^4,x^5,x^6,x^7]$

M:matrix(L(a1),L(a2),L(a3),L(a4),L(a5),L(a6),L(a7),L(a8))$

V:factor(newdet(M));

V:subst([a1=a,a2=b,a3=c,a4=a+x,a5=b+y,a6=c+z,a7=a+u,a8=b+v],V);


hack: at( V/(x*y*z*u*v*(u-x)*(v-y)), [x=0,y=0,z=0,u=0,v=0]);

hack:factor(hack);

diff(x*y*z*u*v*(u-x)*(v-y),x,1,y,1,z,1,u,2,v,2);

result: %*hack;


La ligne V:factor(newdet(M)); prend un bon moment ...
A la fin on trouve le résultat:

(%i8) result: %*hack;

                                   9        6        6
(%o8)                   - 4 (b - a)  (c - a)  (c - b)


Ce qui est bien la valeur du déterminant de départ. En fait on peut très 
aisément faire ce calcul à la main, comme je l'ai expliqué, et ceci 
justifie la valeur du déterminant.  Le point est de comprendre pourquoi 
on peut se limiter au calcul de
diff(x*y*z*u*v*(u-x)*(v-y),x,1,y,1,z,1,u,2,v,2);
Rappel si on ne dérive pas *tous* ces termes ça donne zéro quand on fait
[x=0,y=0,z=0,u=0,v=0], et donc on n'a pas besoin de dériver les autres 
termes.


Bref le mec sur qui cet exo est tombé était très mal parti pour intégrer 
l'X !  C'est d'autant plus "injuste" que d'autres avaient des exos à peu 
près triviaux. Bon je ne suis allé assister qu'une matinée à ces séances 
de torture, et il y a de très nombreuses années.



-- 
Michel Talon