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Subject: Re: Fonction polynomiale ne produisant que des nombres premiers
Newsgroups: fr.sci.maths
References: <6140b92c$0$3732$426a74cc@news.free.fr>
 <shqhjh$224l$1@cabale.usenet-fr.net>
From: HB <bayosky@pasla.invalid>
Date: Tue, 14 Sep 2021 19:01:23 +0200
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Le 14/09/2021 à 18:11, Olivier Miakinen a écrit :
> Le 14/09/2021 17:00, ast a écrit :
>>
>> Selon cette page wikipédia
>>
>> https://fr.wikipedia.org/wiki/Formules_pour_les_nombres_premiers#Formules_exactes_simples
>>
>> il est facile de montrer qu'il n'existe aucune fonction polynomiale non
>> constante P(n) qui ne prendrait que des valeurs premières pour tous les
>> entiers n, ou même pour presque tous les n
>>
>> une idée de la démo ?
> 
> Une preuve donnée il y a quatre jours par Michael Penn :
> <https://www.youtube.com/watch?v=SyrJD1zZwmQ&t=709s>.
> 
> En résumé, soit p = P(1) le nombre premier obtenu en calculant P(n) pour n = 1,
> alors il prouve que quel que soit m entier la valeur P(1 + m.p) est un multiple
> de p, nombre qui doit donc être égal à p si on suppose que tout P(n) est un
> nombre premier.
> 
> Ce polynôme donne une infinité de valeurs égales à p, par conséquent ça ne peut
> être qu'un polynôme constant.
> 
> 
Bonjour,

Je ne comprend pas pourquoi il limite son polynôme à F(X)
sum{k=1..n;a_k.X^k}

Rien n'interdit dans l'hypothèse de départ,
de commencer à k = 0...

L(hypothèse est aussi "F(X) est premier pour tout entier X".
(0 est compris)

Et donc ... on peut faire plus simple :

posons F(0) = p (qui est donc premier)

  F(X) = p + a_1.X + .... + a_n.X^n

soit m un entier

  F(m.p) = p + a_1.m.p + .... + a_n.(m.p)^n

F(m.p) est donc un multiple de p pour tout entier m.
donc F(m.p) = p pour tout entier m
(puisqu'il doit aussi être premier)

La conclusion est immédiate :
l'équation F(X) = p ayant une infinité de solutions,
F est constant.

Amicalement,

HB