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Subject: Re: Fonction polynomiale ne produisant que des nombres premiers
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Date: Thu, 16 Sep 2021 21:06:06 +0200
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Le 15/09/2021 à 18:41, HB a écrit :
> Le 15/09/2021 à 13:09, ast a écrit :
> 

>>
>> "presque tous" veut dire tous sauf un ensemble de mesure nulle.
>> Mais sur les entiers je ne voyais pas trop ce que ça voulait dire.
>>
>> Après quelques recherches, j'ai trouvé ceci:
>>
>> https://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_n%C3%A9gligeable#En_arithm%C3%A9tique 
>>
>>
>> La notion de sous ensemble de N asymptotiquement dense est définie.
>> Un tel sous ensemble contient "presque tous" les entiers.
>>
>> Un exemple: Presque tous les entiers naturels sont non premiers
>> bien que les nombres premiers soient en nombre infini.
>>
> 
> 
> Je me suis aussi posé la question  mais finalement pour un ensemble 
> discret lui-même de mesure nulle (N) je ne voyais pas quel sens exact 
> donné à ça.
> 
> Il eut été plus simple et plus clair de dire, par exemple,
> "sur une partie non bornée de N"
> plutôt que "pour presque tout les entiers".
> 
> Si, en revanche, il faut l'interpréter par
> "Sur une partie 'asymptotiquement dense' de N"
> la démonstration va devenir nettement plus complexe ...

Si toutefois c'est encore valable...
Mais Cela semble probable puisque
l'ensemble des non-premiers est 'asymptotiquement dense'.


Quoi qu'il en soit, dans l'article de Wikipédia
https://fr.wikipedia.org/wiki/Formules_pour_les_nombres_premiers

dans la partie "Formules exactes simples"

"presque tous" est interprété (y'a un lien) comme
sauf pour un nombre fini
(sur une partie cofinie de N)

dans la phrase
"... ainsi, il est facile de montrer qu'il n'existe aucune fonction 
polynomiale non constante P(n) qui ne prendrait que des valeurs 
premières pour tous les entiers n, ou même pour _presque tous_ les n"

Le lien de "presque tous" arrive sur

"un sous-ensemble cofini X d'un ensemble Y est un sous-ensemble de Y 
dont le complémentaire est fini"

Ce qui semble clore temporairement cette affaire.

Cordialement,

HB