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Subject: Fonctions polynomiales et nombres premiers : Le retour
Newsgroups: fr.sci.maths
References: <6140b92c$0$3732$426a74cc@news.free.fr>
From: HB <bayosky@pasla.invalid>
Date: Sat, 18 Sep 2021 12:00:27 +0200
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Le 14/09/2021 à 17:00, ast a écrit :
> Bonjour,
> 
> Selon cette page wikipédia
> 
> https://fr.wikipedia.org/wiki/Formules_pour_les_nombres_premiers#Formules_exactes_simples 
> 
> 
> il est facile de montrer qu'il n'existe aucune fonction polynomiale non 
> constante P(n) qui ne prendrait que des valeurs premières pour tous les 
> entiers n, ou même pour presque tous les n
> 

Bonjour,

Je reviens à cette affaire de polynômes...
(histoire de proposer des questions plus en rapport avec les maths)

1°) Les preuves déjà évoquées (celle de M. Penn sur Youtube ou ma 
version allégée) supposent que le polynôme est à coefs entiers
mais dans l'affirmation citée, ce n'est pas le cas.
D'ailleurs, un peu plus bas dans le même article de wikipédia,
un exemple est fourni avec un polynôme à coef rationnels
qui fournit 58 nombres premiers...

(On peut probablement exclure les coefs irrationnels mais je n'en suis 
pas totalement certain.)

Mézalor, ces preuves ne marchent plus car pour dire que F(m.p) est un 
multiple de p, on utilise (sans le dire) le fait que les coefs de F sont 
entiers.
Il faut donc envisager quelque-chose de plus "fin" pour prouver cette 
propriété...

2°) Peut-on aborder le cas où "presque tous" signifierait
"sur une partie asymptotiquement dense de ℕ" ?
(ce qui n'est visiblement pas le cas pour l'article cité en référence)

Si on a
     une partie A de ℕ  telle que :
     card{k∈A : k ≤ n}/n → 1  (quand n → inf)

Et
     un polynôme F (à coefs rationnels)
     tel que , pour tout a de A, F(a) est un nb premier.

F est-il forcément constant ?


Amicalement,

HB