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Date: Sun, 19 Dec 2021 16:55:55 +0100
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Le 19/12/2021 à 16:02, Michel Talon a écrit :
> Le 19/12/2021 à 11:36, HB a écrit :
>> Le 19/12/2021 à 11:30, HB a écrit :
>>> Le 18/12/2021 à 13:18, Badi Megueni-Tani a écrit :
>>>> bonjour,
>>>> da
>>>>
>>>> On considère un quadrilatère de l’espace tangent à une sphère. 
>>>> Montrer que les points de tangence sont coplanaires.
>>>
>>>
>>> Bonjour,
>>>
>>> 1°) J'imagine qu'il faut lire
>>>       "un quadrilatère dont les 4 côtés sont tangents à une sphère"
>>>
>>> 2°) S'agit-il d'un quadrilatère convexe et non-croisé ?
>>>      (même si dans le cas contraire,
>>>       la situation est difficile à imaginer ... mais bon)
>>>
>>> 3°) S'agit-il d'un quadrilatère "plan" ou bien,
>>>      ce que semble sous-entendre "quadrilatère de l’espace",
>>>      d'un quadrilatère éventuellement "gauche" ?
>>>
>>> Cordialement,
>>>
>>> HB
>>>
>>>
>>>
>>
>> Bien sûr, le 3°) est une blague ...
>> je précise ... au cas où ...
> 
> Il s'agit évidemment d'un quadrilatère "gauche" c'est à dire 4 points A, 
> B, C, D, de l'espace tels que AB, BC, CD, DA soient tangents à la sphère
> en 4 points respectivement X, Y, Z, T  et on demande de montrer que
> X Y Z T sont coplanaires. Si la sphère est de centre 0 et de rayon 1 par 
> exemple, X vérifie 2 conditions
> x1.x1+x2.x2+x3.x3 = 1
> x1.(b1-a1)+x2.(b2-a2)+x3.(b3-a3)=0
> et 3 conditions similaires pour Y, Z, T. La coplanarité équivaut à
> X-Y, Y-Z, Z-T sont liés, ou encore
> 
> det( x1-y1, x2-y2, x3-y3
>       y1-z1, y2-z2, y3-z3
>       t1-z1, t2-z2, t3-z3 ) = 0
> Comment obtenir cela?
> Avec un logiciel de calcul formel, ça revient à montrer que le 
> déterminant est dans l'idéal engendré par les 8 autres relations, en
> utilisant une base de Grobner.  A la main je ne vois pas trop.
> 
>>

Tout à fait.

J'ai très brièvement tenté ma chance avec maxima
mais je n'ai pas pris le temps de creuser...
Il existe peut-être, par ailleurs,
une approche féconde plus "géométrique" ...

Cordialement,

HB