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Subject: Re: Puissance complexe
Newsgroups: fr.sci.maths
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Le 22/12/2021 à 12:00, Julien Arlandis a écrit :
>> Heureusement il existe une solution à cette difficulté qui...a été 
>> découverte par Riemann il y a plus de 200 ans: elle consiste à 
>> rétablir l'unicité de la valeur de sqrt(z) en doublant pour ainsi dire 
>> le domaine de la variable z de façon que les deux valeurs de sqrt(z) 
>> correspondent à deux points au lieu d'un seul - trait de génie s'il en 
>> fut jamais, qui est à l'origine de la grande théorie des surfaces de 
>> Riemann....
> 
> Je n'ai pas compris ce paragraphe, saurais tu l'expliciter plus 
> formellement ?

C'est compliqué à expliquer, je vais prendre un exemple très simple, la 
surface de Riemann de x-y^2, c'est à dire de sqrt(x). Il faut d'abord 
voir que x et y sont complexes, donc (x,y) représente 4 paramètres 
réels, et la condition x-y^2=0 deux conditions réelles donc il reste 
bien 2 paramètres réels pour un point de x-y^2=0 , on a affaire à une 
surface. A chaque point de la surface correspond un couple (x,y) et on a 
2 projections de la surface sur le plan complexe (x,y) -> x et (x,y) ->y

Considérons la première. Pour chaque valeur de x /= 0 on a deux valeurs 
de y et donc deux points de la surface au dessus de x, vis à vis de la 
projection. On dit qu'on a un revêtement à 2 feuillets du plan complexe.
On introduit une structure complexe sur la surface et disant que x est 
un paramètre de coordonnées (complexe) autour du point (x,y) (pour 
chacune des deux valeurs de y) On a donc une "pile de deux assiettes"
au dessus d'un petit disque autour de x dans C.

Malheureusement ceci ne marche pas en 0 (et infini). Il n'y a qu'une 
valeur de y (=0) au dessus de x=0. On dit que c'est un point de 
branchement du revêtement, et que celui ci est branché. En fait ce n'est 
pas grave car autour du point (0,0) on peut utiliser la deuxième 
projection (x,y) -> y et le paramètre local y pour donner des 
coordonnées complexes (y^2,y) pour les points autour de (0,0). ceci se 
recolle bien avec les coordonnées (x,sqrt(x)) sur les points de la 
surface où x=0 et donne donc une structure de variété complexe lisse à 
la surface.

Je passe sous silence la compactification à l'infini (en fait on prend 
le paramètre 1/x ou 1/y) et l'éventuelle désingularisation qu'il faut y 
faire, on obtient un surface complexe compacte lisse, appelée surface
de Riemann. Ce que dit Dieudonné c'est que la "fonction" sqrt(x) est en 
fait une bonne fonction bien définie suir la surface de Riemann, c'est
trivialement la projection (x,y) -> y

Tout ça se généralise sans problème à la surface de Riemann de P(x,y)=0
où P est un polynome en x et y, ce qui donne la théorie générale des 
fonctions elliptiques, hyperelliptiques, algébriques, etc.


-- 
Michel Talon