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Date: Thu, 23 Dec 2021 12:55:57 +0100
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Le 19/12/2021 à 16:02, Michel Talon a écrit :
> Comment obtenir cela?
> Avec un logiciel de calcul formel, ça revient à montrer que le 
> déterminant est dans l'idéal engendré par les 8 autres relations, en
> utilisant une base de Grobner.  A la main je ne vois pas trop.

J'ai eu beaucoup de mal avec ce problème. Voici un calcul maxima qui le 
résout, je pense:

load(grobner)$

/* X in AB, etc. */
for i from 1 thru 3 do (
   x[i]:p*a[i]+(1-p)*b[i],
   y[i]:q*b[i]+(1-q)*c[i],
   z[i]:r*c[i]+(1-r)*d[i],
   t[i]:s*d[i]+(1-s)*a[i])$

/* X on sphere etc. */
c1:sum(x[i]^2,i,1,3)-1$
c2:sum(y[i]^2,i,1,3)-1$
c3:sum(z[i]^2,i,1,3)-1$
c4:sum(t[i]^2,i,1,3)-1$

/* OX perpendicular AB etc; */
c5:sum(x[i]*(a[i]-b[i]),i,1,3)$
c6:sum(y[i]*(b[i]-c[i]),i,1,3)$
c7:sum(z[i]*(c[i]-d[i]),i,1,3)$
c8:sum(t[i]*(d[i]-a[i]),i,1,3)$

/* X etc. obey f*x[1]+g*x[2]+h*x[3]+j=0  <=> X..T coplanar */
dd:determinant(matrix
 
([x[1],x[2],x[3],1],[y[1],y[2],y[3],1],[z[1],z[2],z[3],1],[t[1],t[2],t[3],1]))$

loeq:[c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8]$
lovar:[p,q,r,s]$


poly_normal_form(dd,loeq,lovar);

La forme normale que l'on obtient ne contient pas p,q,r,s et dépend 
uniquement de ABCD. C'est la condition sur le quadrilatère pour que
les 4 cotés soient tangents à la sphère. Elle est extrêmement 
compliquée.  Mais quand elle est satisfaite, la notion de forme normale 
dit que le déterminant dd s'exprime sous forme sum(c[i]*f[i],i,1,8) pour
des polynomes f[i] en pqrs, et donc que les conditions c[i]=0 impliquent
dd=0 c'est à dire que XYZT sont coplanaires. Je n'ai pas pu utiliser 
directement les bases de Grobner car sans utiliser la condition sur les
ABCD, la base de Grobner contient 1. Les quotients f[i] de dd par les 
c[i] sont aussi extrêmement compliqués donc inutile de les montrer. 
Autant dire que le calcul à la main n'est pas évident.

D'où le grand intérêt de la solution de Samuel où on utilise la sphère
uniquement pour dire que les tangentes issues de A à la sphère forment 
un cône, et donc les deux tangentes AC et AD touchent la sphère à égale 
distance. On peut alors trivialement paramétrer X,Y,Z,T avec les 4
longueurs AB BC CD DA et une seule distance supplémentaire AX=p. Par 
exemple  OX = p/a OA + (1-p/a)OB etc. A partir de là on doit avoir 
directement dd=0.



-- 
Michel Talon