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Date: Mon, 17 Jan 2022 21:27:25 +0100
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Subject: Re: Dans un demi-cercle
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 <61e5c452$0$28585$426a74cc@news.free.fr>
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Le 17/01/2022 à 20:32, nobody@com.invalid a écrit :
> Le 16/01/2022 à 19:05, HB a écrit :
>> Bonsoir,
>>
>> Puisque les affaires reprennent (avec le fil "Pythagore"),
>> je propose un sujet (dont j'ignore la solution).
>>
>> =============================================================
>> Pb : B et C sont sur un demi cercle de centre O,
>>      de rayon R et de diamètre [AD].
>>      (A, B , C et D dans cet ordre)
>>
>>       Notons a, b et c les trois cordes [AB], [BC] et [CD].
>>
>>      On cherche les cas où a, b, c et R sont entiers.
>>
>> =============================================================
> 
> J'appelle [AB] le diamètre du 1/2 cercle (longueur = 2r)
> B et C sont sur le 1/2 cercle de telle sorte que A, B, C et d soient 
> dans cet ordre.
> Je pose a = AB, b = BC, c = CD.
> 
> D'après le théorème de Ptolémée, ABCD est inscrit dans le 1/2 cercle est 
> équivalent à
> 
>     AC.BD = AB.CD + BC.AD
> 
> ce qui donne, en tenant compte que ABD et ACD sont des triangles 
> rectangles en B et D :
> 
>     sqrt(4r^2-c^2).sqrt(4r^2-a^2) = ac + 2rb
> 
> En élevant au carré, on a
> 
>     (4r^2 - c^2)(4r^2 - a^2) = a^2c^2 + 4rabc + 4r^2b^2
> 
>     16r^4 - 4a^2r^2 - 4c^2r^2 + a^2c^2 = a^2c^2 + 4rabc + 4r^2b^2
> 
> On obtient après des opérations élémentaires que
> 
>     4r^3 = r(a^2 + b^2 + c^2) + abc
> 
> 
Et donc, finalement,
cela aboutit à la relation proposée aussi par Michel Talon

4r^3 = r(a^2 + b^2 + c^2) + abc

avec r, a, b et c entiers.

En revanche, je ne suis pas certain que ce soit une CNS.

Je vais, de mon côté, regarder ça...

A+

HB