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Path: ...!news.mixmin.net!weretis.net!feeder8.news.weretis.net!news.trigofacile.com!usenet-fr.net!agneau.org!nntpfeed.proxad.net!proxad.net!feeder1-1.proxad.net!cleanfeed1-a.proxad.net!nnrp1-1.free.fr!not-for-mail Subject: Re: Dans un demi-cercle Newsgroups: fr.sci.maths References: <61e45e60$0$8894$426a34cc@news.free.fr> <61e5b439$0$3686$426a74cc@news.free.fr> From: Michel Talon <talon@niobe.lpthe.jussieu.fr> Date: Tue, 18 Jan 2022 10:57:33 +0100 User-Agent: Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64; rv:78.0) Gecko/20100101 Thunderbird/78.14.0 MIME-Version: 1.0 In-Reply-To: <61e5b439$0$3686$426a74cc@news.free.fr> Content-Type: text/plain; charset=utf-8; format=flowed Content-Language: fr Content-Transfer-Encoding: 8bit Lines: 22 Message-ID: <61e68f0d$0$8896$426a74cc@news.free.fr> Organization: Guest of ProXad - France NNTP-Posting-Date: 18 Jan 2022 10:57:33 CET NNTP-Posting-Host: 88.161.173.7 X-Trace: 1642499853 news-3.free.fr 8896 88.161.173.7:28330 X-Complaints-To: abuse@proxad.net Bytes: 2236 Le 17/01/2022 à 19:23, Michel Talon a écrit : > En divisant par r^3 je pense qu'il revient au même de chercher des > solutions rationnelles de a^2+b^2+c^2+abc-4=0 Si on fixe a et b > rationnels, c est donné par une équation du second degré dont la > solution est en général irrationnelle, sauf si le discriminant est un > carré parfait, d'où relation entre a et b, etc. En fait cette méthode permet de trouver des solutions (toutes?). En effet le discriminant se factorise! (noter que a,b,c sont entre 0 et 2) Delta = (ab)^2-4(a^2+b^2-4) = (4-a^2)(4-b^2) et une possibilité est que 4-a^2 et 4-b^2 sont des carrés parfaits dans Q. Mais la solution de ceci est bien connue (solution de x^2+y^2=z^2 dans N) soit a = 2 (m^2 -n^2)/(m^2+n^2) avec m,n entiers et donc 4-a^2 = 16 m^2n^2/(m+n)^2 Solution similaire pour b, on en tire c, il faut voir si c est entre 0 et 2. D'autres solutions par permutation de a,b,c. Analyser le cas où le carré se forme grâce à une interaction entre 4-a^2 et 4-b^2 est plus compliqué mais peut être tombe dans une permutation ci-dessus. -- Michel Talon