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Date: Tue, 18 Jan 2022 15:32:43 +0100
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Subject: Re: Dans un demi-cercle
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Le 17/01/2022 à 21:27, HB a écrit :
> Le 17/01/2022 à 20:32, nobody@com.invalid a écrit :
>> Le 16/01/2022 à 19:05, HB a écrit :
>>> Bonsoir,
>>>
>>> Puisque les affaires reprennent (avec le fil "Pythagore"),
>>> je propose un sujet (dont j'ignore la solution).
>>>
>>> =============================================================
>>> Pb : B et C sont sur un demi cercle de centre O,
>>>      de rayon R et de diamètre [AD].
>>>      (A, B , C et D dans cet ordre)
>>>
>>>       Notons a, b et c les trois cordes [AB], [BC] et [CD].
>>>
>>>      On cherche les cas où a, b, c et R sont entiers.
>>>
>>> =============================================================
>>
>> J'appelle [AB] le diamètre du 1/2 cercle (longueur = 2r)
>> B et C sont sur le 1/2 cercle de telle sorte que A, B, C et d soient 
>> dans cet ordre.
>> Je pose a = AB, b = BC, c = CD.
>>
>> D'après le théorème de Ptolémée, ABCD est inscrit dans le 1/2 cercle 
>> est équivalent à
>>
>>     AC.BD = AB.CD + BC.AD
>>
>> ce qui donne, en tenant compte que ABD et ACD sont des triangles 
>> rectangles en B et D :
>>
>>     sqrt(4r^2-c^2).sqrt(4r^2-a^2) = ac + 2rb
>>
>> En élevant au carré, on a
>>
>>     (4r^2 - c^2)(4r^2 - a^2) = a^2c^2 + 4rabc + 4r^2b^2
>>
>>     16r^4 - 4a^2r^2 - 4c^2r^2 + a^2c^2 = a^2c^2 + 4rabc + 4r^2b^2
>>
>> On obtient après des opérations élémentaires que
>>
>>     4r^3 = r(a^2 + b^2 + c^2) + abc
>>
>>
> Et donc, finalement,
> cela aboutit à la relation proposée aussi par Michel Talon
> 
> 4r^3 = r(a^2 + b^2 + c^2) + abc
> 
> avec r, a, b et c entiers.
> 
> En revanche, je ne suis pas certain que ce soit une CNS.

Je ne pense pas que ce soit une cns. Le théorème de Ptolémée
dit que 4 points A, B, C, D sont cocycliques ssi ....

Il ne dit pas "4 point sont inscrits dans un demi cercle de
diamètre AD ssi ..."

> 
> Je vais, de mon côté, regarder ça...
> 
> A+
> 
> HB
> 
>