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Date: Sat, 20 Aug 2022 17:50:31 +0200
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Le 16/08/2022 à 14:04, Julien Arlandis a écrit :
> Le 16/08/2022 à 13:16, Olivier Miakinen a écrit :
>> Le 16/08/2022 à 13:12, Samuel DEVULDER a écrit :
>>> Le 16/08/2022 à 12:38, Richard Hachel a écrit :
>>>> Bonjour, je cherche la primitive de sqrt(1+x²) 
>>>
>>> https://www.wolframalpha.com/input?i=primitive+of+sqrt%281%2Bx%5E2%29
>>
>> Ah, désolé pour la redite.
> 
> Sans wolfram, ça doit pas être simple. Une idée de la méthode pour le 
> faire à la main ?

Bonjour,

Cela ressemble à une exercice assez standard :

1°) Il y a d'abord la bonne vieille intégration par parties :
     Intégrale(UV') = [UV] - Intégrale(U'V)

     On choisit donc U = Sqrt(1 + X²) et V' = 1

     U' = 1/2 . 2X . 1/Sqrt(1 + X²)  V = X

     U'V = X² / Sqrt(1 + X²)

2°) Astuce connue : On fait revenir le truc que l'on cherche

X² / Sqrt(1 + X²) = (X² + 1) / Sqrt(1 + X²) - 1/Sqrt(1 + X²)

donc U'V = Sqrt(1 + X²) - 1/Sqrt(1 + X²)
          = UV' - 1/Sqrt(1 + X²)

Ainsi,

Intégrale(UV') = [UV]  - Intégrale(UV') + Intégrale(1/Sqrt(1 + X²) )

donc

2*Intégrale(UV') = [UV] + Intégrale(1/Sqrt(1 + X²) )


3°) ArcSinh a une dérivée "connue" qui est 1/Sqrt(1 + X²)

.... fin de l'aventure

amicalement,

HB