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Subject: Re: =?UTF-8?B?RGlzdGFuY2UgZW50cmUgcG9pbnRzIHN1ciB1bmUgc3VyZmFjZSBz?=
	=?UTF-8?B?cGjDgD9VVEYtOD9CP3FYSnBjWFZsPw==?=
From: =?UTF-8?B?RnJhbsOnb2lzIEd1aWxsZXQ=?= <guillet.francois@wanadoo.fr>
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Date: Sat, 27 Aug 2022 15:26:04 +0200
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Samuel DEVULDER avait prétendu :
> Le 26/08/2022 à 18:24, François Guillet a écrit :

> Si N est grand, on peut passer au continu. La distance minimale est alors 
> arbitrairement petite, c’est à dire nulle avec nettement moins de 10% 
> d’erreur.
>
> Expérimentalement function rnd_pt()
>   local t=math.random()*2*math.pi
>   local u=math.random()*2-1
>   local v=math.sqrt(1-u*u)
>   local x=v*math.cos(t)
>   local y=v*math.sin(t)
>   local z=u
>   return x,y,z
> end
>
> math.randomseed(os.time())
> N=2
> while N<10000000 do
>     min = 2
>     for i=1,N do
>        x1,y1,z1 = rnd_pt()
>        x2,y2,z2 = rnd_pt()
>        l = math.sqrt((x1-x2)^2 + (y1-y2)^2 + (z1 - z2)^2)
>        if l<min then min=l end
>     end
>     print(N,min)
>     N=2*N
> end
> c’est à dire l’évolution de la valeur min en fonction de N.
>
> 2       1.7320535222628
> 4       0.96619226131122
> 8       0.32133630829967
> 16      0.16954171468936
> 32      0.87810340956493
> 64      0.42004667763523
> 128     0.082170058076418
> 256     0.20796839669734
> 512     0.038551031383725
> 1024    0.024837572032891
> 2048    0.04605965848548
> 4096    0.02145641292159
> 8192    0.015818780891673
> 16384   0.014168108661474
> 32768   0.013167085921463
> 65536   0.0076886674297973
> 131072  0.0015293222938782
> 262144  0.0044984643104232
> 524288  0.0026173325159087
> 1048576 0.0019166170599755
> 2097152 0.00050883687584596
>
> Ça converge bien vers 0.

N est très grand, mais pas infini. En pratique il va s'agir 
probablement de distances inférieures au µm quand le rayon est de 
l'ordre des dizaines de cm. Mais on ne peut pas du tout les négliger 
dans un calcul de forces entre électrons positionnés à ces points, 
puisque ces forces sont inversement proportionnelle au carré de cette 
distance.

Je peux reprendre l'algo en Javascript ou en VB, ça m'irait, merci, 
mais je crains que pour l'ordre de grandeur donné au départ, N ≈ 10^12, 
le temps de calcul ne soit prohibitif, non ?

>> Et si ce n'est pas possible de façon stricte, la valeur moyenne des 
>> distances minimales entre points quand on les répartit de sorte que l'écart 
>> type de ces distances soit le plus faible possible ?
>
> La distance minimale est une valeur unique. La moyenne de ces (cette en fait) 
> distances minimales se reduit à cette seule valeur du coup.

Si la valeur est unique pour tous les points, évidemment la moyenne est 
égale à cette valeur.
Mais je ne savais pas a priori s'il était possible de placer des points 
arbitrairement sur une sphère de telle sorte que la distance entre 
n'importe quel point et le point le plus proche, soit une valeur 
unique.
D'où ma suggestion dans ce second cas, d'avoir un écart type minimal.

Le contexte de la question, c'est que les points sont supposés les plus 
uniformément répartis. Si cette uniformité est parfaite, je n'ai plus 
besoin du second cas.

> Ce que tu cherches n’est probablement pas ce que tu as exprimé je pense. Bien 
> poser le problème est important. Le langage naturel est trompeur.

Le problème des maths, c'est qu'il faudrait déjà utiliser le langage 
des maths pour poser la question. Mais si on le connaissait bien, on ne 
poserait pas la question, on résoudrait soi-même.

Il faudrait que le spécialiste comprenne l'esprit d'une question de 
néophite ou soit capable d'en voir les ambiguités afin de se faire 
préciser en termes de néophite, la question. :-)

> Tu veux peut être parler de la convergence vers 0 en fonction de N.

???
Je ne vois même plus le rapport avec ma question.  :-)

> Il suffit 
> de afficher log(min)/log(N) et voir la tronche de la courbe.
>
>
> 2       0.73755947047948
> 4       0.25393706632722
> 8       0.004036398413153
> 16      -0.086497164754602
> 32      -0.29260916906706
> 64      -0.54413892802073
> 128     -0.26433527715335
> 256     -0.48425252512169
> 512     -0.38625097847592
> 1024    -0.36985223705506
> 2048    -0.55986588516339
> 4096    -0.60234872935944
> 8192    -0.43763182567399
> 16384   -0.39421450067684
> 32768   -0.48363443562599
> 65536   -0.44314658573074
> 131072  -0.48649465308727
> 262144  -0.65185359833834
> 524288  -0.57606532367517
> 1048576 -0.49310889039446
> 2097152 -0.50516448934319
> 4194304 -0.48848059754013
> 8388608 -0.45229628649285
> 16777216        -0.45909124089116
>
> Hum difficile de dire que ça converge vers -1/2, cad un truc en 1/sqrt(N). On 
> dirait 1/N^0.45quelquechose, mais on est qu’à N=10^7...