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Le 27/09/2023 à 12:05, Olivier Miakinen a écrit :

> Le 27/09/2023 08:30, Samuel Devulder a écrit :
>> blah

Tiens tu réponds à un message que j'avais annulé après avoir vu que je 
n'étais pas du matin :)

> Parce qu'il ne semble absolument pas mis en question qu'il existe un
> aleph_1, un aleph_2, et ainsi de suite.

Oui via l'ensemble des parties d'un autre ensemble on peut construire 
une suite infini d'ensembles strictement plus "grands" les uns des 
autres. Mais pourquoi ce serait la seule façon de faire, et pourquoi il 
n'y en aurait pas une autre construction qui soit entre les deux.

Toute analogie foireuse étant admise (on est sur Usenet: personne ne 
nous lit), si on dit que le cardinal de N est "assimilable" au 
comportement de la fonction (n->n) à l'infini, et celui de R la fonction 
(n->2^n) qui croit infiniment plus vite que celle de N, à quel ensemble 
correspondait la fonction (n->2^sqrt(n)) ? Ouais, j'ai bien dit foireuse.

> Non, tu fais encore la même confusion entre aleph_1 (qui est le plus petit
> infini strictment plus grand que aleph_0) et 2**aleph_0 (qui est le cardinal
> de l'ensemble des réels).

Cette notion de "plus petit unique" m'interpelle. Évidemment cela vient 
de la preuve que les ordinaux soient bien ordonnés. Mais quand on a dit 
cela, on ne se forge pas d'intuition concernant le fait qu'il n'y a rien 
de strictement plus petit que aleph_1 et strictement plus grand que aleph_0.

> En revanche, ce qui n'est du tout remis en question, c'est le fait de
> l'existence même d'un aleph_1 (alors que par exemple il n'existe pas
> de « réel_1 » qui serait le plus petit nombre réel strictement positif).

Concernant Aleph_1 != 2^Aleph_0, j'avais lu que des axiomatiques 
particulières amenaient à croire que 2^Aleph_0 soit en fait identique à 
Aleph_2, le 2e plus grand ordinal. C'est à dire qu'il existerait des 
ensembles infinis strictement plus grands que N et strictement plus 
petit que R (mais je crois que ce sont des bizarreries d’axiomes 
supplémentaires sur les infinis).

Note: je reviens à mon analogie foireuse avec card(R)="le comportement à 
l'infini de (n->2^n)", est-ce qu'on pourrait se dire que aleph_1 serait 
le cardinal de l'ensemble correspondant à (n->2^sqrt(n)). Encore plus 
foireuse cette analogie car quid de (n->2^sqrt(sqrt(n))) ?

Sous ces hypothèses, pourquoi il n'y aurait qu'un seul tel ensemble ? 
Pourquoi on ne pourrait itérer le processus entre N et cet ensemble pour 
trouver un ensemble entre les deux de la même façon qu'on arrive à 
construire une fonction qui croit infiniment moins vite qu'une fonction 
donnée convergeant vers +inf (considérer le log).

Bref, je divague. Désolé pour le bruit.

sam.