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<83302df2-e44e-4aac-d79b-b1924d10af5b@laposte_dot_net.invalid> View for Bookmarking (what is this?) Look up another Usenet article |
Path: ...!news.mixmin.net!aioe.org!wWi+bf82x/J4IG13ZEtRgw.user.46.165.242.75.POSTED!not-for-mail From: Samuel DEVULDER <samuel_dot_devulder@laposte_dot_net.invalid> Newsgroups: fr.sci.maths Subject: =?UTF-8?Q?Re=3a_Prouver_une_in=c3=a9galit=c3=a9_pour_tout_x_et_y?= Date: Thu, 19 Aug 2021 15:28:11 +0200 Organization: Aioe.org NNTP Server Message-ID: <83302df2-e44e-4aac-d79b-b1924d10af5b@laposte_dot_net.invalid> References: <sfj4li$9mv$1@cabale.usenet-fr.net> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Injection-Info: gioia.aioe.org; logging-data="14368"; posting-host="wWi+bf82x/J4IG13ZEtRgw.user.gioia.aioe.org"; mail-complaints-to="abuse@aioe.org"; User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:91.0) Gecko/20100101 Thunderbird/91.0.1 Content-Language: fr X-Antivirus: Avast (VPS 210819-0, 19/8/2021), Outbound message X-Notice: Filtered by postfilter v. 0.9.2 X-Antivirus-Status: Clean Bytes: 3711 Lines: 88 Le 18/08/2021 à 16:15, Olivier Miakinen a écrit : > Il s'agit de prouver que pour tous x et y réels on a : > > | (x+y)(1-xy) | 1 > |−−−−−−−−−−−−−−| ≤ − > | (1+x²)(1+y²) | 2 Bon j'y vais en mode "bourrin", je note f(x) = (x+y)(1-xy)/[(1+x²)(1+y²)] Je vois que lim f(x) = -y/(1+y²) +-oo et que cette limite (L) est la même en +-oo et se situe entre -1/2 et +1/2 (faire le tableau de variation et déduire.) Je calcule ensuite: f'(x) = (x²(y²-1) - 4xy - y² + 1) / [(x²+1)²(y²+1)] Je cherche le x qui annule cette dérivée, c'est à dire: g(x) = x²(y²-1) - 4xy - y² + 1 = 0 Remarquons que le signe de f' est celui de g qui est une parabole, ce qui veut dire que le tableau de variation de f' est tout simple :) Pour résoudre g(x)=0, on remarque qu'on a un beau système du second degré en x qui a deux solutions plutôt simples: x1 = (y + 1) / (y - 1) x2 = (1 - y) / (y + 1) = -1/x1 (x1 et X2 sont de signe opposés) La dessus, on note x3 = (x1+x2)/2 la valeur milieu entre ces deux zéro ce qui est pratique pour connaitre l'allure de la parabole g donc le signe de f'. Quelques petits calculs donnent alors: x3 = 2y / (y² - 1) et f(x1) = -1/2, f(x2) = 1/2, f(x3) = -y / (y² + 1) ainsi que g(y3) = - (y²+1)²/(y²-1) dont le signe dépend de celui de y²-1 Faisons maintenant 3 cas suivant la position de y: A) y < -1, alors g(x3)<0, et x2<0, x1>0, et 0 <= L (et toujours <= 1/2 bien entendu) Le tableau de variation est alors celui ci: x |-oo x2 x3 x1 +oo f' | + 0 - 0 + f | 0<=L 1/2 -1/2 L<=1/2 Comme 0<= L <= 1/2, on en déduit que -1/2 <= f <= 1/2 B) -1<y<1, alors g(x3)>0, et x1<0 x2>0 x |-oo x1 x3 x2 +oo f' | - 0 + 0 - f | 1/2>=L -1/2 1/2 L>=-1/2 Là encore on conclue que -1/2 <= f <= 1/2 C) y>1, alors g(x3)>0, x2<0 et x1>0, ce qui nous ramène au cas A) Ah oui restent les cas y=+-1, qui se simplifient avec f(x) = (x-1)(x+1)/[(1+x²)(2)] = 1/2 (x²-1)/(1+x²) f'(x) = 2x/(1+x²)² --> signe de x x | -oo 0 +oo f'| - 0 + f | 1/2>=L -1/2 L<=1/2 Bref dans tous les cas on a -1/2 <= f <= 1/2 sans utiliser l'indice rot13 mais en y allant bourrin avec les dérivées et les tableaux de variation ce qui est à la portée d'un élève de Lycée. sam (sauf erreur de calcul)