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Subject: Re: [SOLUTION] Biaiser les =?UTF-8?Q?probabilit=C3=A9s?=
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From: Julien Arlandis <julien.arlandis@gmail.com>
Bytes: 5560
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Le 04/02/2024 à 11:49, Olivier Miakinen a écrit :
> Le 03/02/2024 20:07, Julien Arlandis a écrit :
>>> 
>>> Mais peut-être qu'il ne faut pas comprendre ta question comme « il se trouve
>>> que je vais miser sur la dernière case, quelle est alors la probabilité de
>>> gagner ? » (réponse : 100 %) mais plutôt comme « quelle est la probabilité
>>> que je me retrouve dans la situation de devoir miser sur la dernière case ? »
>> 
>> Oui, quand j'évoque la dernière case cela suppose que toutes les autres 
>> ont déjà été grattées et selon la stratégie décrite on peut être 
>> conduit à miser sur la Nième case de la grille équilibrée selon 2 cas 
>> bien déterminés :
>> 1) si on obtient l'avantage p > g sur la case N-1
> 
> Auquel cas on a 100 % de chances de gagner

Oui.

>> 2) si on arrive à la case N-1 sans jamais avoir obtenu l'avantage p > g, 
>> on est alors forcé de miser sur la seule case restante.
> 
> Auquel cas on a 0 % de chances de gagner

Oui.


>> J'aimerais savoir quelle est la probabilité que le joueur soit conduit à 
>> miser sur la dernière case,
> 
> Bon, c'est environ C{N/2-1}/C(N,N/2) qui est assez proche de 1/N. Je ne sais
> pas à quoi te servirait d'avoir une valeur plus précise, mais si vraiment tu
> en as besoin ça doit pouvoir se calculer exactement.
> 
>> et lorsque cette situation se produit quelle 
>> est sa probabilité de gagner ?
> 
> Ça c'est facile : à partir du moment où tu es arrivé à N-2 sans avoir 
> jamais
> l'avantage p > g, et que toutes les cases gagnantes n'ont pas encore été
> grattées, ça veut dire qu'il reste exactement une case gagnante et une case
> perdante dans les deux dernières cases.

Tu peux aussi arriver à N-2 en ayant gratté les N/2 cases gagnantes.
La question revient à dénombrer le nombre de combinaisons n1 qui 
conduisent à miser sur la dernière case, et parmi ces n1 combinaisons 
combien y en a t-il où la condition p>g est vérifiée (notons n2 ce 
nombre).
La probabilité de gagner en misant sur la dernière case est donc n2/n1, 
ce nombre est forcément inférieur à 1/2 de façon à compenser toutes 
les probabilités de gagner dans les cas où tu es contraint de miser 
avant d'avoir gratté N cases et où l'on sait que la probabilité de gain 
est supérieure à 1/2.

> Alors, que le joueur mise sur l'une des deux cases au hasard ou qu'il gratte
> la N-1 avant de miser sur la N, la probabilité de gain est la même : 50 %.

Je ne suis pas sûr que l'on parle de la même chose, alors formalisons un 
peu le problème, on note P(i) la probabilité de gagner sur la i_ème 
case d'une grille équilibrée (N pair) avec la stratégie que j'ai 
évoquée (qui consiste à gratter tant que p<g et miser juste après).

P(i) = 0 pour l'ensemble des i impairs car on peut démontrer facilement 
que l'avantage ne peut être obtenu qu'après grattage d'un nombre impair 
de cases grattées, et la valeur P(1) = 1/2 (on gagne si dès le premier 
grattage on tombe sur un gain).
D'une manière générale on peut démontrer que pour tout i pair tel que 
i < N, P(i) = (N/2-g)/(N-i+1) où g est le nombre de cases gagnantes 
grattées avec g = i/2 - 1, ce qui se réécrit :
P(i) = 1/2 * (N-i+2)/(N-i+1) > 1/2.
Reste donc à calculer le cas P(N) plus complexe puisqu'il dépend comme 
je l'ai indiqué plus haut du nombre de branches qui vérifient la 
condition p>g qui y conduisent. 


> Sachant cela, est-ce que ça t'aiderait en quoi que ce soit d'avoir une valeur
> précise sur le nombre de fois où cette situation peut survenir ? Je pense que
> non, et que l'estimation approximative « environ 1/N » devrait te suffire
> (voire qu'elle ne te sert à rien du tout).

Effectivement, il n'est pas nécessaire de connaitre la probabilité de 
miser sur la dernière case pour connaitre la probabilité de gagner sur 
cette dernière case.