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Subject: Re: Puissance complexe
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From: Julien Arlandis <julien.arlandis@gmail.com>
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Lines: 38

Le 19/12/2021 à 19:59, Samuel DEVULDER a écrit :
> Le 19/12/2021 à 19:15, Julien Arlandis a écrit :
> 
>> Oui si on suit la recette de Sam ça fait
>> (exp(i*pi/2))^i = e^(i*ln(e^(i*pi/2))) = e^(i*ln(i))
>> 
>> Et ensuite... ?
> 
> Ensuite i = exp(i*(pi/2 + 2k.pi)), donc
> 	ln(i) = (1/2 + 2k)*i*pi			[1]
> et z = i^i
>       = exp(-(1/2 + 2k)pi)
>       = exp(-pi/2) / exp(2k.pi)
> 
> z a plusieurs valeurs en fonction de k. Chacune d'elle vérifie
> 	ln(z) = i ln(i)
> à cause de [1].
> 
> Pour k=0 (branche principale du log), on obtient le classique
> 	exp(-pi/2) = 0.202...
> 
> Mais pour k=1 on obtient 3.88e-4 (tiens plus petit), et quand on prend k 
> de plus en plus positif on tends vers 0.
> 
> A l'inverse si k est de plus en plus négatif on tends vers +oo.
> 
> Toutes ces valeurs sont des réponses possibles possibles à i^i puis que 
> leur log vaut l'une des valeurs de i*ln(i).
> 
> Toute la difficulté vient fait que ln(z) est un truc mal fichu. On a 
> bien exp(ln(z)) = z, mais pas ln(exp(z)) = z dans les complexes. Il faut 
> faire gaffe avec lui. Je ne sais pas s'il a un usage pratique chez les 
> physiciens/chimistes ce log de nombre complexes. Peut-être du coté des 
> machins quantiques, et encore.. enfin faudrait voir.
> 
> sam.

Tu veux dire que i^i est multivalué et que exp(-pi/2) serait seulement 
l'une des valeurs possibles ?