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Le 25/08/2022 à 13:04, François Guillet a écrit :
> Des électrons (N = 10^12) s'organisent sur une surface sphérique de 
> rayon R, de façon à garantir entre eux la meilleure équidistance.
> 
> Je suis intéressé par l'ordre de grandeur de la distance r entre deux 
> électrons (à 10% près, ça me va). Comment la calculer ?
> 
> La surface s "disponible" par électron est 4*π*R²/N.
> 
> 1) J'assimile cette surface à une aire plane et
> 2) je la considère comme l'aire d'une cercle s = π*r².
> J'ai donc r ≈ √(s/π).
> 
> Mais est-ce la meilleure méthode ?

N est grand. On peut passer au continu et considérer que la moyenne se 
rapproche de la valeur recherchée.

Tu veux donc trouver la distance moyenne entre deux points choisis au pif 
sur une sphère de rayon R. Sans perte de généralité, on peut fixer 
l’un des points (pôle Nord) et calculer sa distance moyenne avec les 
autres points de la sphère. 

Par symétrie on peut dire que tous les points de latitude L (L=0 au nord) 
sont à la même distance d=sqrt(R²(1-cos L)² + R²sin² L)) du pôle. 
Un peu calcul montre d=R sqrt(2-2cos L)=R sqrt(4 sin² 
(L/2))=2R|sin(L/2)|. Or 0<=L<=pi, donc on peut oublier la valeur absolue:  
  

      d=2R sin(L/2)

Ces points sont sur couronne de diamètre 2pi R sin L. Sa surface 
infinitésimale dS = (2pi R sin L)dL. Son "poids" dans l’ensemble des 
couronnes est dS / integral dS = 1/2 sin L dL.

La distance moyenne est donnée par l’intégrale des w*d pour tous les L 
soit Moy = integral 2Rsin(L/2)sin(L)/2 dL, L=0..pi
=R integral sin(L)sin(L/2) dL, L=0..pi
=R integral (2sin(L/2)cos(L/2))sin(L/2) dL L=0..pi
=2R integral cos(L/2)sin²(L/2) dL, L=0..pi

On pose x=sin³(L/2)+C, donc dx = 3/2 sin²(L/2)cos(L/2) dL et 
cos(L/2)sin²(L/2) dL = 2/3 dx. Donc Moy = 4/3 R integral dx x=0..1

Soit Moy = 4/3 R.

C’est la distance moyenne entre 2 points d’une sphère de rayon R.

(Edit: correction de l’erreur au niveau de integral de dS qui ne vaut 
pas 4piR² mais 4piR)