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Subject: Re: Puissance complexe
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From: Julien Arlandis <julien.arlandis@gmail.com>
Bytes: 3183
Lines: 42

Le 19/12/2021 à 12:22, pehache a écrit :
> Le 19/12/2021 à 12:00, Julien Arlandis a écrit :
>> Le 19/12/2021 à 11:27, pehache a écrit :
>>> Le 19/12/2021 à 09:47, Julien Arlandis a écrit :
>>>> Le 19/12/2021 à 09:17, Samuel DEVULDER a écrit :
>>>>> Le 19/12/2021 à 02:47, Julien Arlandis a écrit :
>>>>>> Peut on écrire :
>>>>>> 1^x = (e^(2*i*pi))^x
>>>>>> = e^(2*i*pi*x)
>>>>>> = cos(2*pi*x) + i*sin(2*pi*x)
>>>>>> Pour x réel ?
>>>>>
>>>>> x réel ? Ca colle pas au titre où tu parles d'une puissance complexe.
>>>>>
>>>>> Ton calcul n'est vrai que pour x entier. Pour les x réels 
>>>>> arbitraires (négatifs par exemple) ou complexe il faut plutôt passer 
>>>>> par la définition de a^x = exp(x*ln(a)), donc 1^x = exp(x*ln(1)) or 
>>>>> ln(1)=0, donc 1^x = exp(x*0) = exp(0) = 1 pour tout x réel ou complexe.
>>>>>
>>>>> sam.
>>>>
>>>> La règle (a^b)^c = a^(b*c) s'applique pour b et c réels. Ce qui nous 
>>>> empêche de passer de la première ligne à la seconde ce serait donc le 
>>>> fait que b est complexe (b = 2*i*pi) ?
>>>>
>>>
>>> La démonstration de cette règle à partir de la définition 
>>> a^b=exp(b.ln(a)) implique forcément un ln() de complexe à un moment si 
>>> b est complexe, or un ln() de complexe n'est pas défini de façon 
>>> univoque, donc je suppose que c'est là que ça coince.
>> 
>> Pourtant quand on calcule (exp(i*pi/2))^i = exp(i^2*pi/2) on applique 
>> bien la propriété (a^b)^c = a^(b*c). 
> 
> Je ne suis pas sûr que ce soit bien rigoureux, justement :)

Oui si on suit la recette de Sam ça fait
(exp(i*pi/2))^i = e^(i*ln(e^(i*pi/2))) = e^(i*ln(i))

Et ensuite... ?