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Subject: Re: Biaiser les =?UTF-8?Q?probabilit=C3=A9s?=
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From: Julien Arlandis <julien.arlandis@gmail.com>
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Le 29/01/2024 à 23:16, Olivier Miakinen a écrit :
> Le 29/01/2024 19:18, Julien Arlandis a écrit :
>> 
>> Je viens de faire un script pour tester ma méthode sur les deux types de 
>> grille, voici les résultats pour N = 50. Je rappelle la méthode, je 
>> découvre aléatoirement autant de cases que nécessaire jusqu'à ce que 
>> le nombre de cases découvertes perdantes soit supérieur au nombre de 
>> cases découvertes gagnante OU que le nombre de cases découvertes 
>> atteigne N-1. Après quoi le gain ou la perte est indiqué par la 
>> prochaine case découverte.
>> Voici les résultats :
>> -Quand la grille est aléatoire, la méthode donne une probabilité de 
>> gain de 1/2 (test poussé sur 10 millions de tirages).
> 
> Déjà, ça confirme bien ce que nous disions tous : lorsque la grille est
> complètement aléatoire, ta méthode ne peut pas faire mieux que 1/2 car
> aucune méthode ne le peut.

Oui

>> -Quand la grille est équilibrée, le gain monte à 53%.
>> 
>> J'ai par ailleurs mis le doigt sur une curiosité (qui est peut être dû 
>> à la manière dont le tableau est mélangé pour constituer une grille 
>> équilibrée), lorsque N ≤ 12 la probabilité de gain passe en dessous 
>> de 1/2 dans le cas des grilles équilibrées. Saurais tu vérifier ce 
>> dernier point ?
> 
> Je vais te demander de le vérifier toi-même avec un script sans tirage
> aléatoire. Mais peut-être qu'un fan d'outil de calcul formel pourrait le
> faire plus facilement.

Je viens d'identifier un problème avec la méthode qui mélange 
aléatoirement le tableau équilibré, si j'applique plusieurs fois le 
mélange je n'obtiens plus les mêmes probabilités.
Qu'entends tu par script sans tirage aléatoire, mon script se contente de 
parcourir le tableau de gauche à droite.

> Selon un raisonnement que j'expliquerai plus tard quand j'en aurai le
> temps, pour une grille équilibrée de N = 2n nombres, la probabilité de
> gagner selon ta méthode devrait être :
> 
>   proba = somme pour k = 0..n-1 de Ck/(2^(2k+1)) × (n-k)/(2n-2k-1)
> 
> où Ck est le k-ième nombre de Catalan :
> 
>   Ck = (2k)!/(k!(k+1)!)
> 
> Quand tu auras programmé ça, ce serait bien de vérifier ce que ça donne
> pour quelques valeurs de n, par exemple autour de n = 6 (càd de N = 12).

J'ai un soucis pour le cas n=2 (N=4), ta formule indique comme résultat 
une probabilité de gain égale à 11/24. Si j'applique mon algorithme en 
grattant de gauche à droite parmi l'ensemble des grilles permises on 
obtient les résultats :
0 0 1 1 => P
0 1 0 1 => G
0 1 1 0 => G
1 0 0 1 => G
1 0 1 0 => P
1 1 0 0 => P
ce qui donne une probabilité de gain de 1/2 ? ? ?