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From: pehache <pehache.7@gmail.com>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: Re: Puissance complexe
Date: Sun, 19 Dec 2021 12:22:57 +0100
Lines: 45
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Le 19/12/2021 à 12:00, Julien Arlandis a écrit :
> Le 19/12/2021 à 11:27, pehache a écrit :
>> Le 19/12/2021 à 09:47, Julien Arlandis a écrit :
>>> Le 19/12/2021 à 09:17, Samuel DEVULDER a écrit :
>>>> Le 19/12/2021 à 02:47, Julien Arlandis a écrit :
>>>>> Peut on écrire :
>>>>> 1^x = (e^(2*i*pi))^x
>>>>> = e^(2*i*pi*x)
>>>>> = cos(2*pi*x) + i*sin(2*pi*x)
>>>>> Pour x réel ?
>>>>
>>>> x réel ? Ca colle pas au titre où tu parles d'une puissance complexe.
>>>>
>>>> Ton calcul n'est vrai que pour x entier. Pour les x réels 
>>>> arbitraires (négatifs par exemple) ou complexe il faut plutôt passer 
>>>> par la définition de a^x = exp(x*ln(a)), donc 1^x = exp(x*ln(1)) or 
>>>> ln(1)=0, donc 1^x = exp(x*0) = exp(0) = 1 pour tout x réel ou complexe.
>>>>
>>>> sam.
>>>
>>> La règle (a^b)^c = a^(b*c) s'applique pour b et c réels. Ce qui nous 
>>> empêche de passer de la première ligne à la seconde ce serait donc le 
>>> fait que b est complexe (b = 2*i*pi) ?
>>>
>>
>> La démonstration de cette règle à partir de la définition 
>> a^b=exp(b.ln(a)) implique forcément un ln() de complexe à un moment si 
>> b est complexe, or un ln() de complexe n'est pas défini de façon 
>> univoque, donc je suppose que c'est là que ça coince.
> 
> Pourtant quand on calcule (exp(i*pi/2))^i = exp(i^2*pi/2) on applique 
> bien la propriété (a^b)^c = a^(b*c). 

Je ne suis pas sûr que ce soit bien rigoureux, justement :)

> C'est quoi le développement 
> généralisé de (a^b)^c lorsque a réel > 0, b complexe, et c réel ?

Je te le demande... Le ln() complexe est le problème.

-- 
"...[la moto] un engin qui par les lois de la physique ne peut pas
freiner en courbe.", SLD sur fr.rec.bricolage
"...sois ouvert aux idées des autres pour peu qu'elles aillent dans le
même sens que les tiennes.", ST sur fr.bio.medecine