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Subject: Re: fonctions
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From: Julien Arlandis <julien.arlandis@gmail.com>
Bytes: 4058
Lines: 79

Le 19/05/2022 à 17:19, HB a écrit :
> Le 19/05/2022 à 15:18, Julien Arlandis a écrit :
>> Le 19/05/2022 à 11:36, HB a écrit :
>>> Bonjour,
>>>
>>> J'aimerais trouver une solution "la moins compliquée possible"
>>> au pb suivant :
>>>
>>> N est un entier naturel donné
>>>   - N > 1
>>> -  N n'est pas très grand  (3 à 10, probablement)
>>>
>>> Je voudrais disposer de N fonctions continues définies sur [0 1]
>>> les plus "aléatoires" possibles telles que
>>> - les valeurs sont positives
>>> - la somme est égale à 1
>>>
>>> J'ai de vagues idées mais, pour le moment, c'est assez confus...
>>>
>>> Toute idée sera appréciée.
>>>
>>> Amicalement,
>>>
>>> Hubert.
>> 
>> Soient 3 fonctions f1, g1, h1 sur [0 1] continues et bornées dans [0 1].
>> On recherche une application T : u -> v telle que u et v sont elles 
>> aussi continues et bornées dans [0 1].
>> T(f1) = f2
>> T(g1) = g2
>> T(h1) = h2
>> avec
>> f2(x) + g2(x) + h2(x) = 1
>> 
>> C'est bien ça ?
> 
> Avec N = 3 oui.
> En fait, il suffit de chercher T continue (et à valeurs positives) 
> puisque par composition f2, g2 et h2 le seront.
> Je ne suis pas sûr, en revanche, que la nouvelle condition
>      f2 + g2 + h2 ≡ 1
> 
> soit plus simple à gérer que
>      f1 + g1 + h1 ≡ 1
> 
> Par ailleurs (en restant avec N = 3), il y a une solution simple :
> 
> En supposant que f1, g1 et h2 le permettent (somme jamais nulle)
> on peut poser S ≡ f1 + g1 + h1
> puis
> f2 ≡ f1/S ;  g2 ≡ g1/S ;  h2 ≡ h1/S.
> ====================================================================
> et donc :
> ====================================================================
> Retour au cas général avec n fonctions :
> If faut donc engendrer de façon aléatoire
> (avec la plus grande liberté possible)
> 
> f_1, f_2, f_3, ...., f_n à valeurs positives et définies sur [0 1]
> On impose en plus que f_1 est à valeurs strictement positives.
> 
> On définit alors S ≡  f_1 + f_2 + f_3 + .... + f_n
> 
> Et, ensuite, les fonctions g_i conviendront
> avec    g_i ≡ f_i / S
> 
> Reste à savoir comment "engendrer" les f_i.

Je propose la recette suivante :
BOUCLE DE 1 à n :
   on fixe 5 réels a, b, c aléatoires compris entre 0 et 1.
   on fixe 2 réels u, v aléatoires compris entre 0 et 1 tq u < v.
   f_n1(x) = (x-a)(x-b)(x-c)      // f_n1 s'annule 3 fois entre entre 0 et 
1
   f_n2(x) = f_n1(x) - min(f_n1)  // f_n2 ≥ 0
   f_n3(x) = f_n2(x) / max(f_n2)  // 0 ≤ f_n3 ≤ 1 
   f_n4(x) = f_n3(x) * (v-u)      // 0 ≤ f_n4 ≤ (v-u)
   f_n(x) = f_n4(x) + u           // u ≤ f_n ≤ v 
FIN BOUCLE