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Subject: Re: Biaiser les =?UTF-8?Q?probabilit=C3=A9s?=
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From: Julien Arlandis <julien.arlandis@gmail.com>
Bytes: 4381
Lines: 78

Le 30/01/2024 à 12:05, Olivier Miakinen a écrit :
> Le 30/01/2024 11:01, Olivier Miakinen a écrit :
>> 
>> Tu as raison. Mon erreur était de considérer qu'à chaque tirage on avait une
>> chance sur deux de tirer 1 ou 0, alors qu'avec des grilles équilibrées ce
>> n'est plus le cas. C'est mon 1/(2^(2k+1)) qui est faux. Je vais y réfléchir
>> de nouveau pour trouver la formule correcte.
> 
> J'ai corrigé mon erreur, et j'ai même programmé moi-même l'algorithme en
> python, mais j'ai eu une énorme surprise !
> 
> La probabilité de gain avec ton algo, en supposant des grilles équilibrées,
> est en fait une formule compliquée :
> 
>  proba = (n!)²/(2n)! × somme pour k = 0..n-1 de la chose suivante :
>                    { (2k)!(2n-2-2k)! / ( k!(k+1)!((n-1-k)!)² }
> 
> Je peux simplifier un peu en remarquant que je peux y trouver trois fois
> l'expression (2m)!/(m!)² qui est égale à C(2m,m) c'est-à-dire le nombre de
> combinaisons de m objets pris parmi 2m. Soit dit en passant, le k-ième
> nombre de Catalan est C(2m,m)/(m+1)
> 
> En posant c2(m) = C(2m,m) l'expression devient alors :
>  proba = { somme pour k = 0..n-1 de ( c2(k) × c2(n-1-k) / (k+1) ) } / c2(n)
> 
> Voici mon programme :
> ===============================================
> #!/usr/bin/env python3
> 
> import math
> 
> def c2(n) :
>     return math.comb(2*n, n)
> 
> def sum_item(n, k) :
>     return c2(k) * c2(n-1-k) / (k+1)
> 
> def proba(n) :
>     sum = 0
>     for k in range(n) :
>         sum += sum_item(n, k)
>     print ("proba pour", n, "=", sum/c2(n))
> 
> for n in range(1, 20):
>     proba(n)
> ===============================================
> 
> Et voici la colossale surprise, quand je l'exécute :
> ===============================================
> proba pour 1 = 0.5
> proba pour 2 = 0.5
> proba pour 3 = 0.5
> proba pour 4 = 0.5
> proba pour 5 = 0.5
> proba pour 6 = 0.5
> proba pour 7 = 0.5
> proba pour 8 = 0.5
> proba pour 9 = 0.5
> proba pour 10 = 0.5
> proba pour 11 = 0.5
> proba pour 12 = 0.5
> proba pour 13 = 0.5
> proba pour 14 = 0.5
> proba pour 15 = 0.5
> proba pour 16 = 0.5
> proba pour 17 = 0.5
> proba pour 18 = 0.5
> proba pour 19 = 0.5
> ===============================================
> 
> :-D

En améliorant le mélange j'ai aussi remarqué que la probabilité de 
gain tendait vers 1/2, mais comment l'interpréter dans la mesure où à 
la seule exception du cas où l'on gratte N-1 case et où la probabilité 
de gain vaut 1/2, il reste toujours une case gagnante de plus à gratter 
que de cases perdantes ? Intuitivement, on s'attend à une probabilité 
toujours supérieure à 1/2.
Es tu sûr de ta formule ?