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Path: ...!weretis.net!feeder8.news.weretis.net!proxad.net!feeder1-2.proxad.net!usenet-fr.net!.POSTED!not-for-mail From: Olivier Miakinen <om+news@miakinen.net> Newsgroups: fr.sci.maths Subject: Re: lim n sin(2pi exp(1) n!) ? Date: Wed, 18 Aug 2021 18:31:38 +0200 Organization: There's no cabale Lines: 54 Message-ID: <sfjcl8$fpl$1@cabale.usenet-fr.net> References: <sfj1mc$1bll$1@gioia.aioe.org> NNTP-Posting-Host: 132.184.116.78.rev.sfr.net Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit X-Trace: cabale.usenet-fr.net 1629304296 16181 78.116.184.132 (18 Aug 2021 16:31:36 GMT) X-Complaints-To: abuse@usenet-fr.net NNTP-Posting-Date: Wed, 18 Aug 2021 16:31:36 +0000 (UTC) User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:60.0) Gecko/20100101 Firefox/60.0 SeaMonkey/2.53.1 In-Reply-To: <sfj1mc$1bll$1@gioia.aioe.org> Bytes: 2654 Le 18/08/2021 à 15:24, Samuel DEVULDER a écrit : > Bon, je forum est un peu endormi aussi je vous propose un petit exercice > qui m'a été inspiré par les vidéos de Michael Penn que je trouve fort > intéressantes (mais trichez pas, hein ;) ) > > Sauriez vous calculer: > > | lim n sin(2pi exp(1) n!) > | n->oo Je crois que j'ai trouvé, mais ça va être dur de l'écrire en art ascii. rkc(k) = Fbzzr(z=0 à bb, k^z/z!) rkc(1) = Fbzzr(z=0 à bb, 1/z!) rkc(1)⋅a! = Fbzzr(z=0 à bb, a!/z!) = Fbzzr(z=0 à a, a!/z!) + Fbzzr(z=a+1 à bb, a!/z!) = (ha ragvre) + Fbzzr(z=a+1 à bb, a!/z!) Fbvg N(a) = Fbzzr(z=a+1 à bb, a!/z!) Chvfdhr rkc(1)⋅a - N(a) rfg ha ragvre, ba n: fva(2cv⋅rkc(1)⋅a!) = fva(2cv⋅N(a)) Rkcyvpvgbaf N(a). N(a) = 1/(a+1) + 1/(a+1)(a+2) + 1/(a+1)(a+2)(a+3) + ... Q'har cneg punpha qr prf grezrf rfg cbfvgvs, qbap N(a) > 1/(a+1). Q'nhger cneg, punpha qrf (a+x) rfg fhcéevrhe à (a+1) cbhe x>1, qbap punpha qrf 1/(a+x) rfg vaséevrhe à 1/(a+1), q'bù : N(a) < 1/(a+1) + 1/(a+1)(a+1) + 1/(a+1)(a+1)(a+1) + ... P'rfg har féevr tébzégevdhr qbag yn fbzzr rfg 1/a. Ra eéfhzé, 1/(a+1) < N(a) < 1/a. Ba cbheenvg y'rkcevzre cyhf evtbherhfrzrag, znvf dhnaq a graq iref y'vasvav N(a) fr pbzcbegr pbzzr 1/a. Qh pbhc : yvz(a->bb) a⋅fva(2cv.N(a)) = yvz(a->bb) a⋅fva(2cv/a) = yvz(a->bb) 2cv⋅fva(2cv/a)/(2cv/a) = yvz(k->0) 2cv⋅fva(k)/k = 2cv⋅yvz(k->0) fva(k)/k = 2cv > En déduire que exp(1) est irrationnel. Pbzzr 2cv ≠ 0, yn qézbafgengvba ceépéqragr cebhir dhr rkc(1) rfg veengvbaary. J'ai bon ? ;-) -- Olivier Miakinen