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From: MAIxxxx <maixxx07@orange.fr>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: =?UTF-8?Q?Re=3a_Prouver_une_in=c3=a9galit=c3=a9_pour_tout_x_et_y?=
Date: Fri, 20 Aug 2021 12:49:18 +0200
Organization: A noiseless patient Spider
Lines: 75
Message-ID: <sfo1be$s9t$1@dont-email.me>
References: <sfj4li$9mv$1@cabale.usenet-fr.net>
Mime-Version: 1.0
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Injection-Date: Fri, 20 Aug 2021 10:49:18 -0000 (UTC)
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In-Reply-To: <sfj4li$9mv$1@cabale.usenet-fr.net>
Content-Language: fr-FR
Bytes: 3120

Le 18/08/2021 à 16:15, Olivier Miakinen a écrit :
> Je vais prendre exemple sur Samuel et vous proposer une petite énigme
> trouvée sur une chaine youtube (celle de SyberMath). Là aussi, evitez
> de tricher, je vous donne toutes les astuces nécessaires.
> 
> Attention, article à voir avec une police à espacement fixe.
> 
> 
> Il s'agit de prouver que pour tous x et y réels on a :
> 
> | (x+y)(1-xy)  |   1
> |−−−−−−−−−−−−−−| ≤ −
> | (1+x²)(1+y²) |   2
> 
> 
> Astuces (en ROT-13 pour ceux qui veulent chercher sans aide) :
> - cbfre k = gna(n) rg l = gna(o)
> - fr enccryre dhr :
>   - gna(n) = fva(n)/pbf(n)
>   - pbf(n+o) = pbf(n)pbf(o) - fva(n)fva(o)
>   - fva(n+o) = fva(n)pbf(o) + pbf(n)fva(o)
>   - q'bù fva(2n) = 2fva(n)pbf(n)
>   - pbf(n)² + fva(n)² = 1
> 
J'ai ça sans liire le rot 13:
u = x+ y   v = xy

f(u,v) = u(1-v)/ (1+ u² -2v + v²)

[1 +x²+y² +x²y² = 1 +(x+y)² -2xy + x²y²}

f(u,v) = (u-uv)/(u² +(1-v)² )

on pose w= 1-v

f(u,w) = uw/(u²+w²)

et encore  w = zu   f(z,u)= zu²/(u² +u²z²)= z/(1+z²)

fonction qui ne dépend plus que de z dont la dérivée en z
( 1+z² -2.z.z) /(1+z²)²= (1-z²)/(1+z²)²re

négative pour |z| > 1 nulle pour |z|=1

f(z) = z/(1+z²) vaut 0 à +/- l'infini, décroit

jusqu'à -1/2 pour z=-1 croit de -1/2 à +1/2 pour z=1

et décroit vers zéro pouz z= +infini.

C'est du genre terminale (scientifique quand même,

j'ai eu moi-même une fraction rationnelle à étudier

au bac "math élem" au millénaire dernier). Suppose

 une certaine agilité de calcul.

Evidemment on peut poser directement

z= (1-xy)/(x+y) c'est encore plus élégant, il faut le

voir. La simplification par u= x+y suppose u non nul.

Si c'est le cas y=-x et f(x,y) = 0 correspondant

à z= 0 et z infini.





-- 
Quand on veut tuer son chien ces temps-ci, on dit qu'il est une fraction
rationnelle.