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From: Olivier Miakinen <om+news@miakinen.net>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: =?UTF-8?Q?Re:_Prouver_une_in=c3=a9galit=c3=a9_pour_tout_x_et_y?=
Date: Fri, 20 Aug 2021 13:46:33 +0200
Organization: There's no cabale
Lines: 63
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X-Trace: cabale.usenet-fr.net 1629459993 97773 78.116.184.132 (20 Aug 2021 11:46:33 GMT)
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NNTP-Posting-Date: Fri, 20 Aug 2021 11:46:33 +0000 (UTC)
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Le 20/08/2021 à 12:49, MAIxxxx a écrit :
> 
> J'ai ça sans liire le rot 13:
> u = x+ y   v = xy

Ça, c'est typiquement le genre de substitution que pourrait faire
SyberMath !

> f(u,v) = u(1-v)/ (1+ u² -2v + v²)
> 
> [1 +x²+y² +x²y² = 1 +(x+y)² -2xy + x²y²}
> 
> f(u,v) = (u-uv)/(u² +(1-v)² )

Oui.

> 
> on pose w= 1-v
> 
> f(u,w) = uw/(u²+w²)
> 
> et encore  w = zu   f(z,u)= zu²/(u² +u²z²)= z/(1+z²)

Excellent ! Noter que c'est au signe près la fonction que Samuel
trouve pour y quand il fait tendre x vers ±infini.

> 
> fonction qui ne dépend plus que de z dont la dérivée en z
> ( 1+z² -2.z.z) /(1+z²)²= (1-z²)/(1+z²)²
> 
> négative pour |z| > 1 nulle pour |z|=1
> 
> f(z) = z/(1+z²) vaut 0 à +/- l'infini, décroit
> 
> jusqu'à -1/2 pour z=-1 croit de -1/2 à +1/2 pour z=1
> 
> et décroit vers zéro pouz z= +infini.

Bravo. C'est une très bonne méthode, et qui ne nécessite pas de passer
par les fonctions trigonométriques.

> 
> C'est du genre terminale (scientifique quand même,
> 
> j'ai eu moi-même une fraction rationnelle à étudier
> 
> au bac "math élem" au millénaire dernier). Suppose
> 
>  une certaine agilité de calcul.
> 
> Evidemment on peut poser directement
> 
> z= (1-xy)/(x+y) c'est encore plus élégant, il faut le
> 
> voir. La simplification par u= x+y suppose u non nul.
> 
> Si c'est le cas y=-x et f(x,y) = 0 correspondant
> 
> à z= 0 et z infini.

Cordialement,
-- 
Olivier Miakinen