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From: Samuel DEVULDER <samuel_dot_devulder@laposte_dot_net.invalid>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: =?UTF-8?Q?Re=3a_Prouver_une_in=c3=a9galit=c3=a9_pour_tout_x_et_y?=
Date: Sun, 22 Aug 2021 13:16:24 +0200
Organization: Aioe.org NNTP Server
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Le 22/08/2021 à 13:11, Samuel DEVULDER a écrit :
> Non pas vraiment Jacobi, mais par contre ca se démontre facilement au 
> tableau. Un peu moins en ascii-art:
> 
> Soit une matrice carrée A = (Aij)  où les Aij sont des fonctions de x 
> (je n'écris pas Aij(x) pour alléger l'écriture). Montrons que
> 
>      Det(A) = Somme Det[ A'k ]
> 
> où     A'k = (A11 ...  A1n)
>            ( :        : )
>                   (Ak1' .. Akn')
>            ( :        : )
>            (An1 ... Ann )
> (A'k = A mais avec la ligne k remplacée par la dérivée).

Oh m.... les TAB ont foirés la mise en page :(

Je refais:

Non pas vraiment Jacobi, mais par contre ca se démontre facilement au 
tableau. Un peu moins en ascii-art:

Soit une matrice carrée A = (Aij)  où les Aij sont des fonctions de x 
(je n'écris pas Aij(x) pour alléger l'écriture). Montrons que

     Det(A) = Somme Det[ A'k ]

où  A'k = (A11 ...  A1n)
           ( :        : )
           (Ak1' .. Akn')
           ( :        : )
           (An1 ... Ann )
(A'k = A mais avec la ligne k remplacée par la dérivée).

On procède par récurrence sur la taille n de la matrice A. Le cas de 
départ est trivial, je ne m'étends pas dessus. Regardons le cas pour 
B(x) de taille n+1.

Développons Det(B) suivant la 1ere ligne:

     Det(B) = B11 Det(com11 B) + .. + B1n+1 Det(com1n+1)

où com_ij B est la comatrice en i,j.

Dérivons par rapport à x:

     Det(B)' = B11' Det(com11 B)  + .. + B1n+1' Det(com1n+1 B)
             + B11  Det(com11 B)' + .. + B1n+1  Det(com1n+1 B)'

On voit facilement que la 1ère ligne de cette somme est en fait
          ( B11' ......... B1n+1'   )
     Det  (  B21 ......... B2n+1    ) = Det(B'1)
          (    :                :   )
          (  B(n+1)1 .. B(n+1)(n+1) )

Remarquons ensuite que com1j B est une matrice de taille n, donc
on peut appliquer la récurrence sur elle et on obtient

     Det(com1j B)' = Somme Det[ (com1j B)'k ]

Donc

     Det(B)' = Det(B'1)
             + B11   [ Det (com11 B)'1   + ... + Det (com11 B)'n   ]
             + B12   [ Det (com12 B)'1   + ... + Det (com12 B)'n   ]
             +  :         :                             :
             + B1n+1 [ Det (com1n+1 B)'1 + ... + Det (com1n+1 B)'n ]

On distribue les B1j:

             = Det(B'1)
             + B11   Det (com11 B)'1   + ... + B11 Det (com11 B)'n
             + B12   Det (com12 B)'1   + ... + B12 Det (com12 B)'n
             +  :       :                          :
             + B1n+1 Det (com1n+1 B)'1 + ... + B1n+1 Det (com1n+1 B)'n

Or si on lit la "grosse somme" par "colonne" on a:

     B11 Det(comm11 B)'1 + B12 Det(com12 B)'1 + .. B1n+1 Det(com1n+1 B)'1

qui est juste le développement suivant la 1ère ligne de :

         (B11  B12   ... B1n+1   )
     Det (B21' B22'  ... B2n+1'  )
         ( :    :          :     )
         (Bn+1,1 ....... Bn+1,n+1)

=par def= Det(B'2)

Idem pour toutes les colonnes de 3 à n+1.

Bref,

     Det(B)' = Det(B'1) + .. Det(B'n+1),

ce qui clos la démonstration hyper générale. Comme Det(A) = Det tr(A) 
(la transposée ne change pas le déterminant), on a la même propriété en 
dérivant les colonnes son on préfère.

sam.