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From: Samuel DEVULDER <samuel_dot_devulder@laposte_dot_net.invalid>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: Re: Puissance complexe
Date: Sun, 19 Dec 2021 15:39:44 +0100
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Le 19/12/2021 à 14:06, Julien Arlandis a écrit :
> 
> J'ai omis de préciser que a > 0, mais dans mon exemple initial a = 1 
> donc ce n'est pas pour cette raison que la propriété ne s'applique pas.

Si a>0, alors ln(a) est bien défini et effectivement

(a^b)^c = exp(b*ln(a))^c          [1]
         = exp(c*ln(exp(b*ln(a)))) [2]
         = exp(c * (b * ln(a)))    [3]
         = exp( (c*b) * ln(a) )    [4]
         = exp( (b*c) * ln(a) )    [5]
         = a^(b*c)

La règle s'applique sans soucis (à partir du moment ou b et c commutent 
pour passer de [4] à [5])

Par contre si b est complexe, exp(b*ln(a)) n'est plus forcément un réel 
positif, et donc un truc dont "on peut prendre le log sans soucis".

Le passage de [1] à [2] devient alors illicite car exp(x)^y != exp(x * 
y) dans le cas général quand x ou y sont complexes (voir haut de page de 
https://tinyurl.com/r66hum94 si on lit l'allemand).

Tout cela est lié au fait que ln(autre chose qu'un réel > 0) est une 
fonction multivaluée. Il y a des détails dans la version anglaise de la 
wiki: https://tinyurl.com/pmdnz7mw. Mais d'une façon générale se méfier 
si on est amené à prendre le log d'autre chose qu'un réel positif dans 
un calcul car on quitte le domaine des fonctions univoques habituelles.

sam.