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From: Samuel DEVULDER <samuel_dot_devulder@laposte_dot_net.invalid>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: Re: Puissance complexe
Date: Sun, 19 Dec 2021 19:59:09 +0100
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Le 19/12/2021 à 19:15, Julien Arlandis a écrit :

> Oui si on suit la recette de Sam ça fait
> (exp(i*pi/2))^i = e^(i*ln(e^(i*pi/2))) = e^(i*ln(i))
> 
> Et ensuite... ?

Ensuite i = exp(i*(pi/2 + 2k.pi)), donc
	ln(i) = (1/2 + 2k)*i*pi			[1]
et z = i^i
      = exp(-(1/2 + 2k)pi)
      = exp(-pi/2) / exp(2k.pi)

z a plusieurs valeurs en fonction de k. Chacune d'elle vérifie
	ln(z) = i ln(i)
à cause de [1].

Pour k=0 (branche principale du log), on obtient le classique
	exp(-pi/2) = 0.202...

Mais pour k=1 on obtient 3.88e-4 (tiens plus petit), et quand on prend k 
de plus en plus positif on tends vers 0.

A l'inverse si k est de plus en plus négatif on tends vers +oo.

Toutes ces valeurs sont des réponses possibles possibles à i^i puis que 
leur log vaut l'une des valeurs de i*ln(i).

Toute la difficulté vient fait que ln(z) est un truc mal fichu. On a 
bien exp(ln(z)) = z, mais pas ln(exp(z)) = z dans les complexes. Il faut 
faire gaffe avec lui. Je ne sais pas s'il a un usage pratique chez les 
physiciens/chimistes ce log de nombre complexes. Peut-être du coté des 
machins quantiques, et encore.. enfin faudrait voir.

sam.