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From: Samuel DEVULDER <samuel_dot_devulder@laposte_dot_net.invalid>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: Re: Puissance complexe
Date: Tue, 21 Dec 2021 16:46:59 +0100
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Le 21/12/2021 à 15:21, Julien Arlandis a écrit :

> ((-1)^2)^(1/2) = (exp(2i*(2k+1)*pi))^(1/2) = exp(i*(2k+1)*pi) = -1
> D'où le résultat assez fou que
> (-1)^2 ≠ 1

Si tu interprètes les complexes de modules 1 sous la forme de rotations 
d'un certain angle, ceci s'explique assez bien:

* x² double l'angle de "x"
* x^(1/2) divise par deux l'angle de "x",

Comme -1 est une rotation de 180°, (-1)² est une rotation de 360°[*], et 
((-1)²)^(1/2) est une rotation de 360°/2 = 180° = -1

On remarque que ici qu'on considère que 360° est différent de 0°.. on 
garde une certaine continuité (--> une histoire locale ?) des opérations.

> si 1 peut être représenté par exp(4i*pi) ce n'est pas le cas de (-1)^2 qui ne peut être représenté que par exp(2i*pi), exp(6i*pi), exp(10i*pi)... mais pas exp(4i*pi) !! 

C'est un truc de dingue qui n'est pas sans rappeler le truc de Dirac.
	https://en.wikipedia.org/wiki/Plate_trick

En fait, dans la nature, les rotations de 360° ne sont pas forcément 
nilpotentes... Si vous ne me croyez pas, faites donc le tour d'un électron:
	https://www.youtube.com/watch?v=pKKy2mmsziI

On peut aussi jouer des coudes pour s'en rendre compte:
	https://www.youtube.com/watch?v=rC0jAICfNwc

sam (et oui en topologie 3D, un tour complet c'est 720°)