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From: Samuel DEVULDER <samuel_dot_devulder@laposte_dot_net.invalid>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: Re: Puissance complexe
Date: Fri, 24 Dec 2021 00:55:03 +0100
Organization: Aioe.org NNTP Server
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Le 23/12/2021 à 19:47, Julien Arlandis a écrit :
> Je me réponds à moi même.
> 1^(1/2)+1^(1/3) = exp(iπk) + exp(iπk*2/3)

Pourquoi serait-ce le même k dans les deux exponentielles ? Tu corrèles 
deux expressions indépendantes.

moi j'aurais dit +/- 1 + exp(iπk*2/3)

> Dans cette application il faut distinguer 6 variétés :
> k = 6n + 0 => +2
> k = 6n + 1 => -3/2 + i√3/2
> k = 6n + 2 => +1/2 - i√3/2
> k = 6n + 3 => 0
> k = 6n + 4 => +1/2 + i√3/2
> k = 6n + 5 => -3/2 - i√3/2 

ok en combinant k1 (période 2) et k2 (période 3), on retrouve ce cycle de 6.

> Si on représente les 6 valeurs dans le plan complexe on obtient une répartition de points assez bizarre avec une symétrie par rapport à l'axe des réels. Quelqu'un sait interpréter ce résultat ? 

Si z = exp(alpha i), vérifie z^n = 1 (z est racine de l'unité), on en 
déduit en divisant par z^n des deux cotés que 1 = 1/z^n = 1/exp(alpha i) 
= exp(-alpha i) = cos(alpha) - sin(alpha i) = conjugué(z).

Bref si un complexe est racine de l'unité, son conjugué l'est aussi (en 
plus d'être égal à son inverse). Ceci implique que les racines de 
l'unité sont symétriques par rapport à l'axe réel.

Cela explique la symétrie verticale que tu observes.

Quand à l'interprétation géométrique de la figure complète tu as j^k (où 
j est classiquement la racine 3e de l'unité) qui décrit un triangle 
équilatéral et donc +/-1 + j^k donne ce triangle équilatéral translaté 
horizontalement de +/- 1, pour un total de 6 points.

sam.