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From: Samuel DEVULDER <samuel_dot_devulder@laposte_dot_net.invalid>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: Re: Puissance complexe
Date: Fri, 24 Dec 2021 21:48:36 +0100
Organization: Aioe.org NNTP Server
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Le 24/12/2021 à 15:58, Julien Arlandis a écrit :
> Autre façon de voir les choses, c'est d'évaluer l'expression pour toutes 
> les valeurs entières de k modulo 8, c'est ce que j'ai fait et il n'y a 
> que 4 valeurs différentes.

S'il n'y a qu'un seul "k" c'est pareil. Tu lie arbitrairement les deux 
termes de 1^(1/2) + 1^(1/4). Je ne sais toujours pas si c'est légitime.

Je pense que le problème est mal posé en parlant de valeur de 
l'expression numérique 1^(1/2) + 1^(1/4) "sans contexte". Les surfaces 
de Riemann interviennent sur les fonctions à valeur complexe. or ici ca 
n'est pas une fonction mais une expression numérique.

L'interprétation par surface de Riemann s'applique si au lieu de 
considérer les expressions avec deux "1" indépendants (l'un est 
exp(2pi*k1*i), l'autre exp(2pi*k2*i)), on, peut considérer la *fonction"

	f(z) = z^(1/2) + z^(1/4)		[1]

et voir les valeurs que prends cette fonction dans le plan complexe si 
on impose une sorte de continuité de f(z), c'est à dire en restant sur 
le même feuillet.

Et là on retrouve le lien entre les deux termes: la variable z qui bouge 
de la même façon dans chacun des termes. Je comprends alors la 
factorisation, et donc le fait que c'est impossible d'avoir -2.

C'est du coup totalement différent de g(x,y) défini par x^(1/2) + 
y^(1/2) avec x et y sur le plan complexe car là les deux termes sont 
totalement différents.

Bref: truc était de ne pas parler des valeurs de 1^(1/2) + 1^(1/4) en 
tant que lim (x,y)->(1,1) g(x,y) = g(1,1), mais en tant que lim z->1 
f(z) = f(1) si on se place dans le cadre de la continuité de f, c'est à 
dire sur un feuillet de Riemann.

Ok ca fait du sens à présent. Merci.

Cependant je me demande si on obtiendrait le même résultat avec la fonction

	h(z) = [cos(z-1)]^(1/2) + z^(1/4)

qui vérifie aussi h(1) = 1^(1/2) + 1^(1/4). Je ne pense pas que lim z->1 
h(z) = lim z->1 f(z), car f et h sont localement différentes au 
voisinage de 1. Ceci explique que la valeur f(1) ne peut pas être 
retenue comme unique valeur pour 1^(1/2)+1^(1/4). Tout est dépendant du 
contexte, en particulier de la fonction.

sam.