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Path: ...!weretis.net!feeder6.news.weretis.net!feeder8.news.weretis.net!usenet.goja.nl.eu.org!aioe.org!wWi+bf82x/J4IG13ZEtRgw.user.46.165.242.75.POSTED!not-for-mail From: Samuel DEVULDER <samuel_dot_devulder@laposte_dot_net.invalid> Newsgroups: fr.sci.maths Subject: Re: Puissance complexe Date: Sat, 25 Dec 2021 21:41:20 +0100 Organization: Aioe.org NNTP Server Message-ID: <sq7vlg$1ejn$1@gioia.aioe.org> References: <HwTeGQkWMXTC_jEOcdWNdVgHJYM@jntp> <43X2RriBlNTM8sfhy3miWETMoQQ@jntp> <rzU-fG8GjYJ-3dRAveaEnV8sFmY@jntp> <sq328m$1m6e$1@gioia.aioe.org> <ekbGD9EMF6_ZHN4k7tjC7CKoscQ@jntp> <sq35e5$l32$1@gioia.aioe.org> <RGQ6qhoYmr5t-Io2FS2fWKbbo74@jntp> <sq3v0q$1qbf$1@gioia.aioe.org> <R4Hq5aAGBttRUUh3BwrfRoXc2A0@jntp> <sq4hdk$1mtk$1@gioia.aioe.org> <w2OOnu1pBNdZB8xS8RWPspcZ35U@jntp> <sq4jij$jou$1@gioia.aioe.org> <61c7546e$0$3674$426a74cc@news.free.fr> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Injection-Info: gioia.aioe.org; logging-data="47735"; posting-host="wWi+bf82x/J4IG13ZEtRgw.user.gioia.aioe.org"; mail-complaints-to="abuse@aioe.org"; User-Agent: Mozilla/5.0 (Windows NT 10.0; Win64; x64; rv:91.0) Gecko/20100101 Thunderbird/91.4.1 X-Antivirus: Avast (VPS 211225-6, 25/12/2021), Outbound message X-Notice: Filtered by postfilter v. 0.9.2 Content-Language: fr X-Antivirus-Status: Clean Bytes: 4455 Lines: 76 Le 25/12/2021 à 18:27, Michel Talon a écrit : > En général si x est solution de P(x)=0 et y de Q(y)=0 alors tu peux > trouver un polynôme R(z) tel que z soir racine de R, par le procédé > d'élimination, éliminer x entre les deux équations P(x)=0 et Q(z-x)=0. ah oui du coup z = y+x.. > En pratique pour éliminer on calcule le résultant. Après il faut > regarder si dès fois R est factorisable, etc. (..) > Exemple, avec 5^1/2 et 2^1/3: > (..) > 6 4 3 2 > (%o4) z - 15 z - 4 z + 75 z - 60 z - 121 > > On a bien trouvé R qui est irréductible et est assez naturellement de > degré 6. 5^1/2+2^1/3 est une racine de ce polynome. Intéressant ! Et la répartition sur le plan complexe des racines montre ce qu'il se passe: https://tinyurl.com/mwu4xh5x * on a les racines cubiques de 2 formant un triangle équilatéral ! Re=-0.630 ! / | ! Im=1.09~~(*) +i ! : ` .| 1.260 ! : | . / ! : | ` . / ! --+-------+-------+-:----(o)------+(*)----+-------+-------+----> ! -3 -2 -1 : | . ' +2 +3 +4 ! : |. ' +1 ! : , ' | ! (*) -i ! | * auquel on ajoute les racines de 5 (+/-2.236), c'est à dire qu'on dédouble ce triangle de sorte à avoir l'un centré en +2.236 (sqrt(5)), et l'autre en -2.236. Ainsi les deux racines avec Re(z)=-0.630 (-1/2 2^(1/3) se retrouvent décalées en -0.630 - 2.236 = -2.866 et -0.630 + 2.36 = 1.606. On envoie aussi le +1.260 (2^(1/3)) en 1.260 - 2.236 = -0.976 et 1.260 + 2.236 = 3.496. ! Re=-2.866 Re=1.606 ! / | / ! (*)~ ~ ~ ~ Im=+1.09 ~ ~ +i ~ ~ ~ ~ ~(*) 2.236 ! : ` . -2.236 | : ` . / ! : /. -0.976 | : ` / 3.496 ! : / ` . / | : / ` . / ! -+:----(o)+------(*)------0-------+---:---+-(o)---+--(*)--+----> ! : . ' | : . ' ! : . ' | : . ' ! : , ' | : , ' ! (*)~ ~ ~ ~ Im=-1.09 ~ ~ -i ~ ~ ~ ~ ~(*) ! | Ce sont précisément les valeurs trouvée numériquement comme racine du polynôme par wolfram alpha, https://tinyurl.com/y9eat7mh sauf que géométriquement on peut avoir l'expression exacte de toutes les racines :) * 2^(1/3) +/- sqrt(5) (-0.976 ou 3.496) * [+/-sqrt(5) - 1/2 2^(1/3)] +/- [ 1/2 * 2^(1/3) * 3^(1/2) ]i (1.606 +/- 1.09i ou -2.866 +/- 1.09i) sam (cool l'ascii art.. j'espère qu'il passera bien)