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From: Olivier Miakinen <om+news@miakinen.net>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: =?UTF-8?Q?[Solution_d=c3=a9taill=c3=a9e]_Pythagore?=
Date: Sat, 15 Jan 2022 22:12:10 +0100
Organization: There's no cabale
Lines: 120
Message-ID: <srvdba$2ftr$1@cabale.usenet-fr.net>
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Le 15/01/2022 20:31, "Benoît L." a écrit :
> 
>>> https://s3.amazonaws.com/gs-geo-images/b28073b2-b7b3-44c6-ae3f-290de6e439c4.jpg 
>>> Quel est le rayon du cercle (avec au minimum 3 chiffres après la virgule) ?
>>
>> Est-il utile que je détaille ma solution complète, faite à la mimine, et
>> donc sans maxima, geogebra ou wolframalpha ?
> 
> Oui !!!!!!
> :)

Ok.

Sur la figure j'ai ajouté le point P milieu de la plus grande corde, le
point Q milieu de la petite corde, et le point O centre du cercle :

<https://i.goopics.net/9t9nui.jpg>

Je nomme :
 a = demi-longueur de la grande corde
 b = demi-longueur de la petite corde
 x = distance OP
 w = distance OQ
 r = rayon du cercle

Noter que j'ai laissé tomber les longueurs y et z que j'avais utilisées
sur mon premier schéma.

Par ailleurs, je conviens de noter par une lettre majuscule le carré de
chacune des cinq variables en minuscule :
 A = a² = 2
 B = b² = 1/2
 X = x²
 W = w²
 R = r²
(je laisse au lecteur le soin de vérifier les valeurs de A et B)

<début de blabla peut-être inutile>
Je ne les ai pas tracés pour ne pas alourdir le dessin, mais il y a deux
triangles isocèles dont un sommet est le centre O et les deux autres
sommets sont respectivement sur la grande corde et sur la petite corde.
Chacun de ces triangles a deux côtés de longueur r, et le troisième côté
respectivement de côté 2a ou de côté 2b. Chaque triangle isocèle peut
être partagé en deux triangles rectangles, respectivement le long de
OP ou le long de OQ. On va appliquer le théorème de Pythagore sur ces
triangles rectangles.
<fin du blabla>

Selon le théorème de Pythagore, sur des triangles décrits dans le blabla
ci-dessus si vous ne les voyez pas, on obtient :
 x² + a² = w² + b² = r²

En appliquant le même théorème de Pythagore sur un autre triangle que je
vous laisse deviner, on obtient :
 (2a − x)² + a² = (w − b)²

Je vais maintenant remplacer chaque lettre minuscule par la racine carrée
de son équivalent en majuscule. On a donc :
 X + A = W + B = R
 (2√A − √X)² + A = (√W - √B)²

Il n'y a plus qu'à faire une peu de manipulations algébriques sur cette
dernière égalité. Dans ce qui suit, chaque ligne est une implication
logique de la précédente (pas forcément une équivalence).

 (2√A − √X)² + A = (√W − √B)²
 4A − 4√A√X + X + A = W − 2√B√W + B
 4A − 4√A√X = − 2√B√W      (car X + A = W + B = R)
 4A = 4√A√X − 2√B√W
 2A = 2√A√X − √B√W
 4A² = (2√A√X − √B√W)²
 4A² = 4AX − 4√A√X√B√W + BW
 4√A√X√B√W = 4AX + BW − 4A²
 4√A√X√B√W = 4A(R − A) + B(R − B) − 4A²
 4√A√X√B√W = 4AR − 4A² + BR − B² − 4A²
 4√A√X√B√W = (4A + B)R − (8A² + B²)
 16ABXW = [(4A + B)R − (8A² + B²)]²
 16ABXW = (4A + B)²R² − 2(4A + B)(8A² + B²)R + (8A² + B²)²
 16ABXW =
     (16A² + 8AB + B²)R² − (64A³ + 16A²B + 8AB² + 2B³)R + (64A⁴ + 16A²B² + B⁴)
 16AB(R-A)(R-B) =
     (16A² + 8AB + B²)R² + (− 64A³ − 16A²B − 8AB² − 2B³)R + (64A⁴ + 16A²B² + B⁴)
 16ABR² + (− 16A²B − 16AB²)R + 16A²B² =
     (16A² + 8AB + B²)R² + (− 64A³ − 16A²B − 8AB² − 2B³)R + (64A⁴ + 16A²B² + B⁴)
 0 = (16A² − 8AB + B²)R² + (− 64A³ + 8AB² − 2B³)R + (64A⁴ + B⁴)

Je repars de la dernière ligne, où je vais remplacer A par 2 et B par 1/2

 (16A² − 8AB + B²)R² + (− 64A³ + 8AB² − 2B³)R + (64A⁴ + B⁴) = 0
 (64 − 8 + 1/4)R² + (− 512 + 4 − 1/4)R + (1024 + 1/16) = 0

Multiplions tout par 16 (je le fais avant de faire les sommes car je connais
bien les puissances de 2 et ça m'évite de faire des erreurs).

 (1024 − 128 + 4)R² + (− 8192 + 64 − 4)R + (16384 + 1) = 0
 900 R² − 8132 R + 16385 = 0

Δ' = b'² − ac = 4066 × 4066 − 900 × 16385
   = 16532356 − 14746500
   = 1785856
   = 2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×2×109
   = 2^14 × 109
Noter que la décomposition à la main est amusante, on y trouve des nombres
tels que 446464, 223232 et 111616.

D'où R = (4066 ± 128√109) / 900
Et r = √(4066 ± 128√109) / 30

Avec deux valeurs à priori pour r qui sont environ 2,45002 et 1,74153.

On élimine la solution 1,74 qui, avec un rayon inférieur à 2, donnerait un
diamètre inférieur à 4 et ne pourrait pas contenir le grand triangle dont
un côté vaut 4. La solution 2,45 correspond à un rayon d'environ 4,9 qui
est bien supérieur à 4.

CQFD (et ouf ! mais je me suis bien amusé quand même)


-- 
Olivier Miakinen