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From: Olivier Miakinen <om+news@miakinen.net>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: Re: Pythagore
Date: Mon, 17 Jan 2022 00:50:01 +0100
Organization: There's no cabale
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In-Reply-To: <61e31080$0$29488$426a74cc@news.free.fr>
Bytes: 5018

Bonjour,

J'ai plus de mal avec les formules de trigo qu'avec le théorème de Pythagore
(ce, indépendamment du titre donné à l'exercice), mais j'essaye de suivre
quand même.

Le 15/01/2022 19:20, nobody@com.invalid a écrit :
> Le 14/01/2022 à 21:33, Sylvie Jaquet a écrit :
>> https://s3.amazonaws.com/gs-geo-images/b28073b2-b7b3-44c6-ae3f-290de6e439c4.jpg
>>
>> Quel est le rayon du cercle (avec au minimum 3 chiffres après la virgule) ?
> 
> J'ai essayé une solution analytique qui vaut ce qu'elle vaut.
> Le fichier geogebra se trouve à l'adresse suivante
> 
>     https://anonfiles.com/15Ka41Bbx6/prob_triangle_ggb

J'ai eu la flemme de réinstaller geogebra (je l'avais utilisé en ligne, et je
ne sais pas si on peut lui faire lire un fichier ggb), mais tes explications
sont claires et je n'en ai pas eu besoin.

> Le RON est (A, Ax, Ay) avec Ax= hypoténuse du triangle ABC de côté 4
> J'appelle a l'angle en degrés entre Ax et le côté du triangle de côté 1 
> : le curseur permet de modifier cet angle entre 0° et 360°.
> 
> On a alors les coordonnées suivantes :
> 
>     B(4 ; 0) et D(cos a ; sin a)
> 
> La médiatrice de [BC] a pour équation
> 
>     y = x - 2
> 
> et celle de [DE]
> 
>     y = x.tan(45 + x)

tan(45 + a) je suppose. Mais ok, je vois bien que le point A est le sommet
commun aux deux triangles, le point B est le sommet le plus à droite et le
point C le plus en haut du grand triangle, tandis que le point D est le plus
en haut et le point E le plus en bas du petit triangle (où « à gauche »,
« en haut », etc. correspondent à la figure donnée par Sylvie).

> Les coordonnées de O, intersection des 2 médiatrices se trouvent 
> facilement et sont :
> 
>     O(1 - cot a ; -1 - cot a)

J'ai eu un peu de mal de passer de :
  x = 2/(1 - tan(45 + a))
à :
  x = 1 - cot a

Mais j'y suis arrivé avec la formule :
  tan(a + b) = (tan a + tan b) / (1 - tan a tan b)
avec en plus :
  tan(45) = 1

> Partant de là, on a les carrés des longueurs suivantes :
> 
>     OB^2 = (3 + cot a)^2 + (1 + cot a)^2
> 
> et
> 
>     OD^2 = (cos a - 1 + cot a)^2 + (sin a + 1 + cot a)^2
> 
> 
> Les 4 points sont cocycliques lorsque OB = OD.

Oui.

> En posant t = tan (a/2), et en résolvant OB^2=OD^2, on obtient 2 
> solutions réelles

Je vais m'y coller. Voyons les formules si t = tan(a/2) :
http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Trigonom/aaaBases/Relation.htm#Demi
§
Pour les angles de 0 à Pi et t = tan(a/2) :
 sin(a) = 2t(1+t²)
 cos(a) = (1-t²)/(1+t²)
 tan(a) = 2t/(1-t²)
§

J'arrive à :
 10t⁴ - 14t³ + 4t² - 14t - 6 = 0

C'est-à-dire :
 5t⁴ - 7t³ + 2t² - 7t - 3 = 0

Là je ne sais pas si j'aurais su continuer sans wolframalpha qui me dit
que deux solutions sont t = ±i. Sachant cela, je peux diviser par (t²+1)
pour obtenir :
 5t² - 7t - 3 = 0

(ah, je me rends compte que j'aurais peut-être pu y arriver en ne
multipliant que par 2t quand j'avais à la fois des 2t et des 1+t² au
dénominateur, mais je ne pouvais pas le deviner)

>     t = (7 + sqrt(109))/10
>     t = (7 - sqrt(109))/10

Ok. Résolution facile du 2nd degré.

> ce qui correspond à des angles a égaux approximativement à
> 
>     a = 120,341°
>     a = 322,030°

Ouais. Mais je préfèrerais une solution exacte, comme celle que j'ai
obtenue à la main avec Pythagore.

> On peut s'assurer avec geogebra que ces 2 angles conduisent bien 4 
> points cocyliques.
> 
> Comme le rayon du cercle passant par les 4 points vaut r = OB, on 
> obtient avec wolfram (en injectant les valeurs exactes de t obtenues 
> auparavant) :
> 
>     r = (2 sqrt(2 (65983993 + 6319744 sqrt(109))))/(6580 + 640
>     sqrt(109)) ≈ 2.450024769
> 
> et
> 
>     r = sqrt(65983993/2 - 3159872 sqrt(109))/(5 (32 sqrt(109) - 329)) ≈
>     1.741532137

Tu saurais le faire à la main sans wolframalpha ?


-- 
Olivier Miakinen