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Path: ...!eternal-september.org!reader02.eternal-september.org!.POSTED!not-for-mail From: MAIxxxx <maixxx07@orange.fr> Newsgroups: fr.sci.maths Subject: Re: Puissance complexe Date: Tue, 1 Feb 2022 12:51:45 +0100 Organization: A noiseless patient Spider Lines: 40 Message-ID: <stb6si$ahk$1@dont-email.me> References: <HwTeGQkWMXTC_jEOcdWNdVgHJYM@jntp> Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Injection-Date: Tue, 1 Feb 2022 11:51:46 -0000 (UTC) Injection-Info: reader02.eternal-september.org; posting-host="8d23e9ffd35f998bf059e58f319da1c7"; logging-data="10804"; mail-complaints-to="abuse@eternal-september.org"; posting-account="U2FsdGVkX1/oLxoxsSgcDBQEQnVbC1Co" User-Agent: Mozilla/5.0 (X11; Linux x86_64; rv:91.0) Gecko/20100101 Thunderbird/91.5.0 Cancel-Lock: sha1:GKm4qsVzbRvJh508STld5CLnq8c= In-Reply-To: <HwTeGQkWMXTC_jEOcdWNdVgHJYM@jntp> Content-Language: fr-FR Bytes: 2651 Le 19/12/2021 à 02:47, Julien Arlandis a écrit : > Peut on écrire : > 1^x = (e^(2*i*pi))^x > = e^(2*i*pi*x) > = cos(2*pi*x) + i*sin(2*pi*x) > Pour x réel ? > Je suppose que non car 1^x est supposé réel quand x est réel... On parlait parfois de "racines de l'unité" c'est à dire puissance fractionnaires, qui toutes sont représentées sur le cercle trigonométrique. Bien évidemment une puissance algébrique ou transcendante (réelle) va avoir des propriétés similaires. Noter donc que toutes les puissances réelles de l'unité ont comme module "1" et inversement En calcul formel : 1= exp(2*k*i*<pi>) k entier relatif avec z= a+i*b a et b réels 1^z = exp[2*i*k*<pi>*(a+i*b)] = exp[2*i*k*<pi>*a -2*k*<pi>*b) ={exp(-2*k*<pi>*b) } *[cos(2*k*pi*a)+i*sin(2*k*pi*a)] c'est une expression multivaluée dénombrable. Si a et b sont rationnels on peut à peu près intuiter où se trouvent ces valeurs dans le plan complexe, sur des cercles de rayons exp(-2*k*<pi>*b) répartis sur des directions en nombre fini, cercles de rayons en progression géométrique. Par contre pour des valeurs de a et b algébriques ou transcendantes on aura aussi un ensemble de valeurs infini sur des cercles mais dense en ce qui concerne la direction. "Formellement" le k entier relatif de la partie réelle et celui de la partie imaginaire sont identiques (est-ce vrai???) Validité de ce qui est écrit plus haut ??? On est dans C. "Trois p'its tours et puis s'en vont" -- Vous pouvez dire n'importe quoi, et moi aussi d'ailleurs, mais je m'en f..s complètement.