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From: Joe Cool <zierouhli@free.fr>
Newsgroups: fr.sci.maths
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Date: Mon, 14 Mar 2022 14:48:07 +0100
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Le 10/03/2022 à 16:05, Julien Arlandis a écrit :
> Bonjour, j'ai trouvé cette énigme sur un groupe facebook :

Autant dire la bibliothèque d'Alexandrie.

> La question n'est pas de savoir si 3=0 ou si delta est négatif, la 
> question est de savoir quelle étape du raisonnement je n'ai pas le droit 
> de franchir et pourquoi :

On va voir ça.

> x²+x+1=0

Pourquoi pas. Mais l'espace de définition de x n'est pas précisé. On a
le droit d'affirmer que x²+x+1=0; mais la rigueur exige de préciser
«Soit x un élément de tel anneau (A,0,1,+,*)»

> D'une part x(x+1)=-1

Oui.

> D'autre part x+1=-x²

Aussi.

> D'où, par substitution, x(-x²)=-1

Ça fonctionne.

> Ou -x³=-1 !

Oui, et alors ?

> Dont la seule solution est x=1.

L'erreur est ici. Comme l'espace de définition des x n'est pas
déterminé, on ne peut pas affirmer que x=1. Cela serait vrai si cet
espace était R; mais si on considérait C, il y aurait trois solutions
possibles qui sont les racines troisièmes de l'unité.

Si on pose par exemple x=(i*sqrt(3)-1)/2, on a à la fois x³=1 et x²+x+1=0.

> D'où 3=0.

Oui.

On en déduit que x²+x+1 est différent de 0.

Vous venez de prouver une formule négative par application de la règle
d'introduction de la négation (non-intro):
- on suppose A ;
- on prouve une absurdité, par exemple 0=1 ;
- on prouve non-A par la règle non-intro.

> Intuitivement, on comprend que la substitution est ici une opération 
> illicite qui fait augmenter le degré de l'équation, ce qui revient à 
> rajouter une solution réelle. Mais plus formellement, quelle règle 
> algébrique est violée ?

La substitution est tout à fait licite. Une égalité, quand elle est une
identité stricte, permet la substitution suivant la définition de
Leibnitz: deux valeurs sont identiques quand elles ont les mêmes propriétés.

Si on ajoute la condition implicite que x est un réel, alors vous venez
juste de prouver que x²+x+1=0 n'a pas de solution dans R. On l'en
convainc en factorisant l'équation du second degré dans C. On obtient alors:

x = (-1 + i*sqrt(3))/2
ou
x = (-1 - i*sqrt(3))/2

qui sont les deux racines troisièmes de l'unité qui ne sont pas réelles.

Dans C, si x²+x+1=0 alors x est une racine 3ème de l'unité (x³=1); mais
ça n'est pas 1.

En conclusion, vous avez prouvé que pour tout x dans R, x²+x+1 est
différent de 0. Point de mystère là-dedans.

Le paradoxe est issu de l'effroyable incompréhension de la négation qui
règne dans les milieux académiques. Cette ignorance-crasse déteint sur
tous les étudiants, quelque soit leur niveau. Savez-vous combien de
chercheurs dans le monde étudient officiellement la négation en
mathématiques ?

Zéro !

-- 
Joe Cool