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From: Samuel DEVULDER <samuel_dot_devulder@laposte_dot_net.invalid>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: Re: fonctions
Date: Fri, 20 May 2022 08:01:45 +0200
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Le 19/05/2022 à 11:36, HB a écrit :
> Bonjour,
> 
> J'aimerais trouver une solution "la moins compliquée possible"
> au pb suivant :
> 
> N est un entier naturel donné
>   - N > 1

C'est important (voir plus bas).

> -  N n'est pas très grand  (3 à 10, probablement)

Ceci beaucoup moins.

> Je voudrais disposer de N fonctions continues définies sur [0 1]
> les plus "aléatoires" possibles telles que
> - les valeurs sont positives
> - la somme est égale à 1

On remarque que l'expression

:    E = N*(sin(PI/2 * x)² + cos(PI/2 * x)²)^(N-1)
:      = N*(1)^N-1
:      = N

est constante égale à N.

Si on "expand" le terme en ^(N-1) [en considérant que c'est un polynôme 
en sin² et cos²], on a aussi

:    E = Somme k=0..N-1 F_k(x)

où

:    F_k(x) = N * C(N-1,k) * [sin(PI/2*x)²]^k * [cos(PI/2*x)²]^(N-1-k)
:
:                  N!                   2k               2N-2-2k
:           = ---------- [ sin(PI/2*x) ]  [ cos(PI/2*x) ]
:             k!(N-1-k)!

On a alors N fonctions, F_0..F_(N-1) toutes positives (x entre 0 et 1, 
donc PI/2*x entre 0 et PI/2 et sin et cos sont positifs). Elles sont 
aussi continues, et leur somme E est constante (indépendant de x) égale 
à N>1.

Illustration: https://tinyurl.com/yck2atfc

C'est cela que tu recherches?

sam.