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From: Samuel DEVULDER <samuel_dot_devulder@laposte_dot_net.invalid>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: Re: fonctions
Date: Fri, 20 May 2022 08:26:08 +0200
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Le 20/05/2022 à 08:01, Samuel DEVULDER a écrit :

> :    F_k(x) = N * C(N-1,k) * [sin(PI/2*x)²]^k * [cos(PI/2*x)²]^(N-1-k)
> :
> :                  N!                   2k               2N-2-2k
> :           = ---------- [ sin(PI/2*x) ]  [ cos(PI/2*x) ]
> :             k!(N-1-k)!
> 
> On a alors N fonctions, F_0..F_(N-1) toutes positives (x entre 0 et 1, 
> donc PI/2*x entre 0 et PI/2 et sin et cos sont positifs). Elles sont 

ouais ou plus simplement les puissances des sin et cos sont paires.

> aussi continues, et leur somme E est constante (indépendant de x) égale 
> à N>1.

En fait c'est même vrai pour tout x, ce qui veut dire que c'est plus 
fort que ce que tu souhaites.

Si on se restreint à la contrainte 0<=x<=1, alors x et (1-x) sont deux 
fonctions continues et positives. On peut alors substiutuer sin² et cos² 
par ces deux fonctions, et il vient que les N fonctions G_k

:                 N!      k      N-k-1
:   G_k(x)  = ---------- x  (1-x)              k=0..N-1
:             k!(N-1-k)!

ont aussi une somme=N.

Illustrations (N=5):
	https://tinyurl.com/yckpx278
	https://tinyurl.com/3xda6vvd

Leurs apparences sont moins jolies que celles des sin/cos, mais ca 
marche quand même.

sam.