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From: Carlo XYZ <carloxyz@invalid.invalid>
Newsgroups: de.sci.mathematik
Subject: Re: Arithmetische Folge
Date: Wed, 22 Jun 2022 16:52:58 +0200
Organization: ABC
Lines: 79
Message-ID: <t8vacb$k1a$1@dont-email.me>
References: <ac8dade9-93b8-409d-9ceb-1cb4ae70a066n@googlegroups.com>
 <t8kg9f$ee9$1@dont-email.me> <t8s9j2$dv84$1@tota-refugium.de>
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In-Reply-To: <t8s9j2$dv84$1@tota-refugium.de>
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Stephan Gerlach schrieb am 21.06.22 um 13:38:
> Ralf Goertz schrieb:
>> Am Sat, 18 Jun 2022 04:14:17 -0700 (PDT)
>> schrieb Frank Gadin <jonnywalker476@googlemail.com>:
>>
>>> Hallo, folgende Frage (sicher kein Problem für Profis): Kann man eine
>>> unendliche arithmetische Folge konstruieren, bei der alle Glieder die
>>> Form a+1/a (a natürlich) haben ? Oder zeigen dass das nicht geht ?
>>> Danke für einen Tipp. Gruß Frank

[...]

> Somit müßten weitere Annahmen über a, b und c gemacht werden, z.B. sowas 
> wie a<b<c, oder gewisse Teilbarkeits-Annahmen, oder einfach die 
> Tatsache, daß a, b und c natürliche Zahlen sind.

Letzteres dürfte genügen (steht ja auch in der Aufgabenstellung).

Ein Versuch - nicht ganz unkompliziert, kommt aber ohne "große a" aus:

Wir suchen drei natürliche Zahlen a,b,c >= 1 mit:

(1) a+1/a <= b+1/b <= c+1/c  [ NB: / bindet stärker als + oder - ]

(2) b+1/b - (a+1/a) = c+1/c - (b+1/b)

(3) Weil f(x)=x+1/x für x>=1 monoton wächst,
gilt das auch für a,b,c: o.B.d.A. also a<=b<=c.

(4) Falls a=c, fallen a,b,c zusammen,
und somit auch die Folgenterme in (1).

Umformen von (2):

(5) b - a + ((ac-bc)/(abc)) = c - b + ((ab-ac)/(abc))

Da (b-a)-(c-b) ganzzahlig ist, gilt das auch für den Rest dieser Terme:

(6) (ab-2ac+bc)/(abc) ist ganzzahlig.

Also teilt abc die Zahl (ab-2ac+bc), und es gibt eine ganze Zahl x mit

(7) xabc = ab-2ac-bc, d.h.: x = 1/c - 2/b + 1/a.

Wir schränken x ein.

0<1/c<=1, weil c>=1.

-2<=-2/b<0, weil b>=1.

0<1/a<=1, weil a>=1.

Also -2 < 1/c - 2/b + 1/a < 2, d.h., x kann nur -1, 0 oder 1 sein.

Fall 1: x=-1. Dann -(abc) = ab-2ac+bc.

Umformen: (2a-b)c = ab(c+1). Daraus folgt (c+1)/c = 2/b - 1/a.

Wegen a<=b gilt (-1/a)<=(-1/b), woraus mit der Vorzeile (c+1)/c <= 1/b
folgt, was wegen 1/b<=1 ein Widerspruch zu 1 < (c+1)/c ist.

Fall 2: x=1. Dann abc = ab-2ac+bc.

Umformen: (2c-b)a = bc(1-a). Daraus folgt (1-a)/a = 2/b - 1/c.

Da (1-a)/a<=0, folgt daraus (und aus c>=b>=1) die Ungleichungkette

   0 < 1/c = 2/c - 1/c <= 2/b - 1/c = (1-a)/a <= 0, Widerspruch.

Fall 3: x=0. Dann 0 = ab-2ac+bc.

Wegen (5) dann auch b-a = c-b. Dann kann man (5) einfacher schreiben:

(8) (ac-bc)/(abc) = (ab-ac)/(abc),
   also (a-b)/(ab) = (b-c)/(bc), also (wieder wegen b-a=c-b) a=c.

Dann greift (4), und wir haben eine konstante arithmetische Folge.

Bemerkung: Funktionen x+K/x (K>=1 konstant) wachsen ab sqrt(K).