Path: ...!eternal-september.org!reader02.eternal-september.org!.POSTED!not-for-mail From: Carlo XYZ Newsgroups: de.sci.mathematik Subject: Re: Arithmetische Folge Date: Wed, 22 Jun 2022 16:52:58 +0200 Organization: ABC Lines: 79 Message-ID: References: MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8; format=flowed Content-Transfer-Encoding: 8bit Injection-Date: Wed, 22 Jun 2022 14:52:59 -0000 (UTC) Injection-Info: reader02.eternal-september.org; posting-host="dcb9601efcc9637ff1f92e12b39736ed"; logging-data="20522"; mail-complaints-to="abuse@eternal-september.org"; posting-account="U2FsdGVkX189ZExmnJpI6R98dEPFIt/tX2ijXdRi4cE=" User-Agent: Mozilla/5.0 (Macintosh; Intel Mac OS X 10.16; rv:68.0) Gecko/20100101 Firefox/68.0 SeaMonkey/2.53.12 Cancel-Lock: sha1:aeP8iq2Z26IZk+Po/r7ODIZrh+o= In-Reply-To: Bytes: 3629 Stephan Gerlach schrieb am 21.06.22 um 13:38: > Ralf Goertz schrieb: >> Am Sat, 18 Jun 2022 04:14:17 -0700 (PDT) >> schrieb Frank Gadin : >> >>> Hallo, folgende Frage (sicher kein Problem für Profis): Kann man eine >>> unendliche arithmetische Folge konstruieren, bei der alle Glieder die >>> Form a+1/a (a natürlich) haben ? Oder zeigen dass das nicht geht ? >>> Danke für einen Tipp. Gruß Frank [...] > Somit müßten weitere Annahmen über a, b und c gemacht werden, z.B. sowas > wie a Tatsache, daß a, b und c natürliche Zahlen sind. Letzteres dürfte genügen (steht ja auch in der Aufgabenstellung). Ein Versuch - nicht ganz unkompliziert, kommt aber ohne "große a" aus: Wir suchen drei natürliche Zahlen a,b,c >= 1 mit: (1) a+1/a <= b+1/b <= c+1/c [ NB: / bindet stärker als + oder - ] (2) b+1/b - (a+1/a) = c+1/c - (b+1/b) (3) Weil f(x)=x+1/x für x>=1 monoton wächst, gilt das auch für a,b,c: o.B.d.A. also a<=b<=c. (4) Falls a=c, fallen a,b,c zusammen, und somit auch die Folgenterme in (1). Umformen von (2): (5) b - a + ((ac-bc)/(abc)) = c - b + ((ab-ac)/(abc)) Da (b-a)-(c-b) ganzzahlig ist, gilt das auch für den Rest dieser Terme: (6) (ab-2ac+bc)/(abc) ist ganzzahlig. Also teilt abc die Zahl (ab-2ac+bc), und es gibt eine ganze Zahl x mit (7) xabc = ab-2ac-bc, d.h.: x = 1/c - 2/b + 1/a. Wir schränken x ein. 0<1/c<=1, weil c>=1. -2<=-2/b<0, weil b>=1. 0<1/a<=1, weil a>=1. Also -2 < 1/c - 2/b + 1/a < 2, d.h., x kann nur -1, 0 oder 1 sein. Fall 1: x=-1. Dann -(abc) = ab-2ac+bc. Umformen: (2a-b)c = ab(c+1). Daraus folgt (c+1)/c = 2/b - 1/a. Wegen a<=b gilt (-1/a)<=(-1/b), woraus mit der Vorzeile (c+1)/c <= 1/b folgt, was wegen 1/b<=1 ein Widerspruch zu 1 < (c+1)/c ist. Fall 2: x=1. Dann abc = ab-2ac+bc. Umformen: (2c-b)a = bc(1-a). Daraus folgt (1-a)/a = 2/b - 1/c. Da (1-a)/a<=0, folgt daraus (und aus c>=b>=1) die Ungleichungkette 0 < 1/c = 2/c - 1/c <= 2/b - 1/c = (1-a)/a <= 0, Widerspruch. Fall 3: x=0. Dann 0 = ab-2ac+bc. Wegen (5) dann auch b-a = c-b. Dann kann man (5) einfacher schreiben: (8) (ac-bc)/(abc) = (ab-ac)/(abc), also (a-b)/(ab) = (b-c)/(bc), also (wieder wegen b-a=c-b) a=c. Dann greift (4), und wir haben eine konstante arithmetische Folge. Bemerkung: Funktionen x+K/x (K>=1 konstant) wachsen ab sqrt(K).