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From: Olivier Miakinen <om+news@miakinen.net>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: Re: 0!=1 ?
Date: Wed, 15 Mar 2023 08:23:42 +0100
Organization: There's no cabale
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In-Reply-To: <turdrh$naru$1@dont-email.me>
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Le 15/03/2023 04:25, Dominique a écrit :
> 
> Pourquoi, par convention, 0!=1 ? Pour moi, 0x0=0...

Une réponse très pédagogique a été faite par Mickaël Launay dans sa
vidéo intitulée « Comment multiplier rien du tout ? » :
<https://www.youtube.com/watch?v=WC-FaGALgtA>.

Note que Mickaël explique bien que ce n'est pas « par convention » que
0! = 1 et que x^0 = 1 pour tout x non nul. Cette valeur est la seule
qui s'impose logiquement dans les deux cas.

> Et puisque nous en sommes là, pourquoi 0^0=1 aussi ?

Avant d'en arriver à 0^0, il faut comprendre pourquoi 1^0 = 2^0 = 1 = x^0
quel que soit x différent de 0. C'est aussi expliqué dans la vidéo.

Sachant que 0^x = 1 pour tout x non nul, mais que x^0 = 1 pour tout x
non nul, on peut effectivement se poser la question pour 0^0 qui ne peut
pas valoir simultanément 0 et 1.

Donc là, oui, c'est par convention que l'on choisit souvent 0^0 = 1, mais
c'est une convention qui fonctionne très bien le plus souvent. En effet,
quand on cherche la limite en 0 de x^x on trouve 1. C'est aussi le cas
quand on cherche la limite de f(x)^g(x) où f et g sont des fonctions à la
croissance assez limitée, par exemple des polynômes, avec f(0) = g(0) = 0.
Mais avec d'autres fonctions on peut trouver d'autres résultats.

Cordialement,
-- 
Olivier Miakinen