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From: Olivier Miakinen <om+news@miakinen.net>
Newsgroups: fr.sci.maths
Subject: Re: 0!=1 ?
Date: Wed, 15 Mar 2023 08:27:38 +0100
Organization: There's no cabale
Lines: 38
Message-ID: <turs1a$9af$1@cabale.usenet-fr.net>
References: <turdrh$naru$1@dont-email.me>
 <641168cb$0$3204$426a74cc@news.free.fr>
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Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit
X-Trace: cabale.usenet-fr.net 1678865258 9551 93.28.89.200 (15 Mar 2023 07:27:38 GMT)
X-Complaints-To: abuse@usenet-fr.net
NNTP-Posting-Date: Wed, 15 Mar 2023 07:27:38 +0000 (UTC)
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In-Reply-To: <641168cb$0$3204$426a74cc@news.free.fr>
Bytes: 2376

Le 15/03/2023 07:42, Michel Talon a écrit :
>> 
>> Pourquoi, par convention, 0!=1 ? Pour moi, 0x0=0... Et puisque nous en 
>> sommes là, pourquoi 0^0=1 aussi ? J'ai la sensation que zéro puissance 
>> zéro est comme 0!...
>> 
>> [...]
> 
> Parce que n! a une extension à une fonction sur tout le plan complexe, 
> pour laquelle il est évident qu'il faut prendre 0!=1. Voir
>   https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_gamma
> Avec par exemple:
> La fonction gamma est entièrement caractérisée sur R + ∗  par les trois 
> propriétés suivantes (théorème de Bohr-Mollerup) :
> 
>     - Γ ( 1 ) = 1
>     - Pour tout x > 0 x>0\,, on a : Γ ( x + 1 ) = x Γ ( x )
>     - la fonction composée ln ∘ Γ  est convexe sur R + ∗
> 
> et comme n!=Γ(n+1) on a bien 0!=1.

:-D

Cette réponse est vraie aussi, mais elle est un peu moins pédagogiqu
que celle donnée par Mickaël Launay. ;-)

> En ce qui concerne 0^0 c'est plus une question de convention, mais en 
> général a^b est défini comme exp(b*log(a)) si a et b tendent vers 0 "à
> la même vitesse" alors b tend vers 0 "plus vite" que log(a) donc
> b*log(a) tend vers 0 et exp(b*log(a)) tend vers 1. Il est donc naturel
> de prolonger a^b de cette manière, là où il est mal défini.

Là en revanche je préfère ta réponse à celle que j'ai donnée, elle me
semble plus claire que la mienne.


-- 
Olivier Miakinen